수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 주머니 A, B를 선택할 확률 구하기

주사위를 한 번 던져서 3의 배수(3, 6)가 나오면 주머니 A를, 그렇지 않으면(1, 2, 4, 5) 주머니 B를 선택합니다.

따라서 주머니 A를 선택할 확률 $P(A)$와 주머니 B를 선택할 확률 $P(B)$는 다음과 같아요.

$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

step2. 주머니별 수의 차이 확률 구하기

이제 각 주머니에서 공을 2개 꺼낼 때, 두 수의 차이가 어떻게 되는지 알아볼게요.

먼저 주머니 A {1, 2, 3}에서 2개를 꺼내는 경우입니다.

전체 경우의 수는 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$가지예요.

- 차이가 1인 경우: (1, 2), (2, 3) $\to$ 2가지

- 차이가 2인 경우: (1, 3) $\to$ 1가지

다음으로 주머니 B {1, 2, 3, 4}에서 2개를 꺼내는 경우입니다.

전체 경우의 수는 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$가지예요.

- 차이가 1인 경우: (1, 2), (2, 3), (3, 4) $\to$ 3가지

- 차이가 2인 경우: (1, 3), (2, 4) $\to$ 2가지

- 차이가 3인 경우: (1, 4) $\to$ 1가지

step3. $X$의 확률분포 완성하기

한 번의 시행에서 기록되는 두 수의 차이를 확률변수 $X$라고 할게요. $X$가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3입니다.

주머니 A를 거쳐서 차이가 나오는 경우와 주머니 B를 거쳐서 차이가 나오는 경우를 더해주어야 합니다.

- $X=1$일 확률:

$P(X=1)=P(A)\times (A\text{에서 차이가 1일 확률})+P(B)\times (B\text{에서 차이가 1일 확률})$

$=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{2}{3}\times \frac{3}{6}=\frac{2}{9}+\frac{1}{3}=\frac{5}{9}$

- $X=2$일 확률:

$P(X=2)=P(A)\times (A\text{에서 차이가 2일 확률})+P(B)\times (B\text{에서 차이가 2일 확률})$

$=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times \frac{2}{6}=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{3}{9}$

- $X=3$일 확률:

$P(X=3)=P(A)\times (A\text{에서 차이가 3일 확률})+P(B)\times (B\text{에서 차이가 3일 확률})$

$=\frac{1}{3}\times 0+\frac{2}{3}\times \frac{1}{6}=0+\frac{1}{9}=\frac{1}{9}$

step4. $\bar{X}=2$가 되기 위한 조건 찾기

시행을 2번 반복하여 얻은 두 수를 각각 $X_1,X_2$라고 할게요.

표본평균 $\bar{X}$는 두 수의 평균이므로 $\bar{X}=\frac{X_1+X_2}{2}$ 입니다.

우리가 구해야 하는 것은 $\bar{X}=2$일 확률이므로, 식을 정리하면 다음과 같아요.

$\frac{X_1+X_2}{2}=2⟺X_1+X_2=4$

평균이 2라고 해서 각각의 시행 결과가 무조건 2가 나와야 하는 것은 아닙니다. 합이 4가 되는 모든 경우를 고려해야 해요.

$X$는 1, 2, 3의 값을 가질 수 있으므로, 합이 4가 되는 $(X_1,X_2)$의 순서쌍은 다음과 같습니다.

$(1,3),(2,2),(3,1)$

step5. 최종 확률 계산하기

이제 step4에서 찾은 세 가지 경우의 확률을 각각 구해서 더해주면 됩니다. 각 시행은 독립적이므로 확률을 곱해주면 돼요.

- 첫 번째가 1, 두 번째가 3일 확률:

$P(X_1=1)\times P(X_2=3)=\frac{5}{9}\times \frac{1}{9}=\frac{5}{81}$

- 첫 번째가 2, 두 번째가 2일 확률:

$P(X_1=2)\times P(X_2=2)=\frac{3}{9}\times \frac{3}{9}=\frac{9}{81}$

- 첫 번째가 3, 두 번째가 1일 확률:

$P(X_1=3)\times P(X_2=1)=\frac{1}{9}\times \frac{5}{9}=\frac{5}{81}$

따라서 구하는 최종 확률은 이 세 가지를 모두 더한 값입니다.

$P(\bar{X}=2)=\frac{5}{81}+\frac{9}{81}+\frac{5}{81}=\frac{19}{81}$

step1. 주머니 선택 확률

$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, $P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

step2. 주머니별 차이 확률

A에서 2개: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$가지. 차이 1은 (1,2), (2,3) $\to \frac{2}{3}$, 차이 2는 (1,3) $\to \frac{1}{3}$

B에서 2개: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$가지. 차이 1은 (1,2), (2,3), (3,4) $\to \frac{3}{6}$, 차이 2는 (1,3), (2,4) $\to \frac{2}{6}$, 차이 3은 (1,4) $\to \frac{1}{6}$

step3. $X$의 확률분포

$P(X=1)=\frac{1}{3}·\frac{2}{3}+\frac{2}{3}·\frac{3}{6}=\frac{5}{9}$

$P(X=2)=\frac{1}{3}·\frac{1}{3}+\frac{2}{3}·\frac{2}{6}=\frac{3}{9}$

$P(X=3)=0+\frac{2}{3}·\frac{1}{6}=\frac{1}{9}$

step4. $\bar{X}=2$ 조건

--- $\bar{X}$는 두 번의 시행 결과의 평균이므로

$\bar{X}=\frac{X_1+X_2}{2}=2⟺X_1+X_2=4$

가능한 $(X_1,X_2)$는 $(1,3),(2,2),(3,1)$

step5. 최종 확률 계산

$P(\bar{X}=2)=P(1)P(3)+P(2)P(2)+P(3)P(1)$

$=\frac{5}{9}·\frac{1}{9}+\frac{3}{9}·\frac{3}{9}+\frac{1}{9}·\frac{5}{9}=\frac{19}{81}$

$\therefore ⑤$