(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 확통 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 경로를 두 구간으로 나누어 각각의 최단 경로 수를 구한 뒤, 곱의 법칙을 적용하는 방법으로 풀이합니다.

step1. A 지점에서 P 지점까지 가는 최단 경로의 수를 구합니다.

step2. P 지점에서 B 지점까지 가는 최단 경로의 수를 구합니다.

step3. 두 경우의 수를 곱하여 전체 경우의 수를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 같은 것이 있는 순열 : 가로로 $a$ 칸, 세로로 $b$ 칸 이동하는 최단 경로의 수는 $\frac{(a + b)!}{a! b!}$ 입니다.

- 곱의 법칙 : 사건 A가 일어나는 경우의 수가 $m$ 가지이고, 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 $n$ 가지일 때, 두 사건 A, B가 잇달아 일어나는 경우의 수는 $m \times n$ 입니다.

5. 구체적 풀이

A에서 B로 바로 가는 것이 아니라 반드시 P를 거쳐야 해요. 따라서 A에서 P까지 가는 길을 먼저 찾고, 그 다음 P에서 B까지 가는 길을 찾아서 연결해주면 됩니다. 연속해서 일어나는 일이니 두 경우의 수를 곱해주는 것이 핵심이에요.

step1. A에서 P까지 가는 최단 경로 수 구하기

A 지점에서 P 지점까지 가려면 오른쪽으로 3칸, 위쪽으로 1칸을 이동해야 해요. 총 4칸을 이동하는 동안 위쪽으로 1칸 이동할 타이밍을 고르는 것과 같으므로, 같은 것이 있는 순열을 이용하여 $\frac{4!}{3! \times 1!} = 4$ 가지가 됩니다.

step2. P에서 B까지 가는 최단 경로 수 구하기

P 지점에서 B 지점까지 가려면 오른쪽으로 1칸, 위쪽으로 1칸을 이동해야 해요. 총 2칸을 이동하므로, $\frac{2!}{1! \times 1!} = 2$ 가지가 됩니다.

step3. 전체 경우의 수 구하기

A에서 P까지 가는 각각의 방법에 대하여 P에서 B까지 가는 방법이 이어지므로, 두 경우의 수를 곱해야 해요. 여기서 두 값을 더하지 않도록 조심하세요. 연속된 동작은 곱의 법칙을 적용합니다. 따라서 $4 \times 2 = 8$ 가지가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. A에서 P까지 가는 최단 경로 수 구하기

$\frac{4!}{3! 1!} = 4$

step2. P에서 B까지 가는 최단 경로 수 구하기

$\frac{2!}{1! 1!} = 2$

step3. 전체 경우의 수 구하기

$4 \times 2 = 8$ --- 곱의 법칙 이용

$∴ 8$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

A에서 B까지 한 번에 가는 경우의 수만 구하고 P를 거쳐야 한다는 조건을 놓칠 수 있어요.
A에서 P까지, P에서 B까지의 경로 수를 구한 뒤 두 값을 더해야 할지 곱해야 할지 헷갈릴 수 있어요.

🔑 돌파구

경로를 A에서 P까지, P에서 B까지 두 구간으로 나누어 각각의 경우의 수를 구해보세요.
두 사건이 연속해서 일어나므로 '곱의 법칙'을 적용하여 두 경우의 수를 곱해야 해요.
팁: '거쳐서 간다'는 조건이 있으면 각 구간의 경우의 수를 구한 뒤 곱해줍니다.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 확통 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 경우의 수 / 같은 것이 있는 순열 / 최단 경로
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구