(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 확통 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 배반사건의 성질을 이용하여 각 사건의 확률을 구하고, 집합의 연산을 통해 원하는 확률을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

step1. $A$ 와 $B^{C}$ 이 배반사건이라는 조건을 수식으로 나타냅니다.

step2. 주어진 확률을 이용하여 $P (A)$ 와 $P (B)$ 의 값을 각각 구합니다.

step3. 구하고자 하는 $P (A^{C} \cap B)$ 를 $P (B)$ 와 $P (A \cap B)$ 로 표현하여 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 배반사건 : 두 사건 $X, Y$ 가 동시에 일어나지 않을 때, 즉 $X \cap Y = \emptyset$ 일 때 두 사건을 배반사건이라 하며, $P (X \cap Y) = 0$ 입니다.

- 확률의 덧셈정리 (배반사건) : 두 사건 $X, Y$ 가 배반사건일 때, $P (X \cup Y) = P (X) + P (Y)$ 입니다.

5. 구체적 풀이

A

와

B^{C}

이 배반사건이라는 말은 두 사건의 교집합이 공집합이라는 뜻이에요. 이를 통해

P (A \cap B^{C}) = 0

임을 알 수 있죠. 사건

A

는

B

와 겹치는 부분(

A \cap B

)과 겹치지 않는 부분(

A \cap B^{C}

)으로 나눌 수 있는데, 겹치지 않는 부분이 없다는 뜻이므로 결국

P (A) = P (A \cap B)

가 됩니다.

step1. 배반사건 조건 해석하기

문제에서 $A$ 와 $B^{C}$ 이 서로 배반사건이라고 했어요. 배반사건은 두 사건의 교집합이 공집합이라는 뜻이므로, $A \cap B^{C} = \emptyset$ 이 됩니다. 따라서 확률로 나타내면 $P (A \cap B^{C}) = 0$ 이에요.

step2. $P (A)$ 와 $P (B)$ 구하기

사건 $A$ 는 $B$ 와 겹치는 부분과 겹치지 않는 부분으로 나눌 수 있어요. 즉, $A = (A \cap B) \cup (A \cap B^{C})$ 입니다. 두 부분은 서로 배반이므로 $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap B^{C})$ 로 쓸 수 있죠.

앞서 $P (A \cap B^{C}) = 0$ 임을 알았고, 문제에서 $P (A \cap B) = \frac{1}{5}$ 이라고 주어졌으므로, $P (A) = \frac{1}{5} + 0 = \frac{1}{5}$ 이 됩니다.

이제 문제의 두 번째 조건인 $P (A) + P (B) = \frac{7}{10}$ 에 $P (A) = \frac{1}{5}$ 을 대입해 볼까요?

$\frac{1}{5} + P (B) = \frac{7}{10}$ 이므로, $P (B) = \frac{7}{10} - \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ 이 됩니다.

step3. $P (A^{C} \cap B)$ 계산하기

우리가 구해야 하는 값은 $P (A^{C} \cap B)$ 예요. 집합의 연산에서 $A^{C} \cap B = B \cap A^{C} = B - A$ 와 같아요.

사건 $B$ 도 마찬가지로 $A$ 와 겹치는 부분과 겹치지 않는 부분으로 나누면 $B = (A \cap B) \cup (A^{C} \cap B)$ 가 됩니다.

따라서 $P (B) = P (A \cap B) + P (A^{C} \cap B)$ 로 나타낼 수 있어요.

여기서 $P (A^{C} \cap B)$ 를 $P (B) - P (A)$ 로 착각하기 쉬운데, $A$ 가 $B$ 의 부분집합일 때만 성립하는 식이에요. 항상 $P (B) - P (A \cap B)$ 로 계산해야 한다는 점을 잊지 마세요!

식을 정리하면 $P (A^{C} \cap B) = P (B) - P (A \cap B)$ 가 됩니다.

앞서 구한 값들을 대입하면, $P (A^{C} \cap B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}$ 이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 배반사건 조건 해석하기

$A \cap B^{C} = \emptyset$ --- $A$ 와 $B^{C}$ 이 배반사건이므로

$∴ P (A \cap B^{C}) = 0$

step2. $P (A)$ 와 $P (B)$ 구하기

$P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap B^{C}) = \frac{1}{5} + 0 = \frac{1}{5}$

$P (A) + P (B) = \frac{7}{10}$ --- 주어진 조건에 대입하면

$\frac{1}{5} + P (B) = \frac{7}{10}$

$∴ P (B) = \frac{1}{2}$

step3. $P (A^{C} \cap B)$ 계산하기

$P (A^{C} \cap B) = P (B) - P (A \cap B)$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$

$∴ ③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$A$ 와 $B^{C}$ 이 배반사건이라는 조건의 의미를 수식으로 정확히 표현하지 못해 $P (A)$ 를 구하지 못할 수 있습니다.
$P (A^{C} \cap B)$ 를 구하기 위해 어떤 확률값들이 필요한지 식을 변형하는 과정에서 헷갈릴 수 있습니다.

🔑 돌파구

배반사건의 정의에 따라 $A \cap B^{C} = \emptyset$ 임을 떠올리고, $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap B^{C})$ 식을 활용해 보세요.
벤 다이어그램을 그려보면 $A^{C} \cap B$ 가 $B$ 에서 $A \cap B$ 를 제외한 부분임을 시각적으로 쉽게 파악할 수 있습니다.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 확통 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 확률 / 배반사건 / 여사건
난이도	중하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구