(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 확통 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]

조건 (나)에서 곱해서 홀수가 되려면 둘 다 홀수여야 하고, 더해서 짝수가 되려면 홀+홀 또는 짝+짝이어야 해요. 따라서

a, d

는 무조건 홀수이고,

b, c

는 둘 다 홀수이거나 둘 다 짝수여야 합니다. 이렇게 두 가지 경우로 나누어 접근하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 조건 (나)를 분석하여 $a, b, c, d$ 의 홀짝성을 결정하고 경우를 나눕니다.

조건 (나)에서 $a \times d$ 가 홀수이므로 $a$ 와 $d$ 는 모두 홀수입니다.

또한 $b + c$ 가 짝수이므로 $b$ 와 $c$ 는 모두 홀수이거나 모두 짝수여야 합니다.

따라서 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있습니다.

- 경우 1: $a, b, c, d$ 가 모두 홀수인 경우

- 경우 2: $a, d$ 는 홀수이고, $b, c$ 는 짝수인 경우

step2. 첫 번째 경우( $b, c$ 가 모두 홀수)의 경우의 수를 구합니다.

$a, b, c, d$ 가 모두 13 이하의 홀수입니다.

13 이하의 홀수는 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13으로 총 7개입니다.

조건 (가)에서 $a \leq b \leq c \leq d$ 를 만족해야 하므로, 7개의 홀수 중 중복을 허락하여 4개를 선택하기만 하면 크기순으로 자동 배열됩니다.

부등식에 등호가 포함되어 있으므로 중복조합을 사용합니다.

경우의 수는 $_{7} H_{4} = (\binom{7 + 4 - 1}{4}) = (\binom{10}{4}) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ 입니다.

step3. 두 번째 경우( $b, c$ 가 모두 짝수)의 부등식을 변형하여 경우의 수를 구합니다.

$a, d$ 는 홀수이고 $b, c$ 는 짝수입니다.

$a \leq b \leq c \leq d$ 에서, 홀수와 짝수는 같을 수 없으므로 $a \neq b$ 이고 $c \neq d$ 입니다.

홀수와 짝수가 섞여 있을 때 등호가 성립할 수 없다는 점을 놓치기 쉽습니다. 이를 엄격한 부등식으로 바꿔주어야 합니다.

따라서 부등식은 $a < b \leq c < d$ 가 됩니다.

이제 각 문자를 짝수와 홀수의 일반항으로 치환해 볼게요.

$a = 2 x - 1, b = 2 u, c = 2 v, d = 2 y - 1$ ( $x, y, u, v$ 는 자연수)라고 하면,

$2 x - 1 < 2 u \leq 2 v < 2 y - 1$ 이 됩니다.

이 부등식을 정리하면,

$2 x \leq 2 u \leq 2 v \leq 2 y - 2$ 가 되고, 양변을 2로 나누면

$x \leq u \leq v \leq y - 1$ 이 됩니다.

$a, d$ 는 13 이하의 홀수이므로 $x, y$ 는 1부터 7까지의 자연수입니다.

여기서 $y^{'} = y - 1$ 로 치환하면, $y$ 의 최댓값이 7이므로 $y^{'}$ 의 최댓값은 6이 됩니다.

결과적으로 $1 \leq x \leq u \leq v \leq y^{'} \leq 6$ 을 만족하는 자연수 $x, u, v, y^{'}$ 를 찾는 문제로 바뀝니다.

이는 1부터 6까지의 자연수 6개 중 중복을 허락하여 4개를 선택하는 경우의 수와 같습니다.

경우의 수는 $_{6} H_{4} = (\binom{6 + 4 - 1}{4}) = (\binom{9}{4}) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 입니다.

step4. 두 경우의 수를 더하여 최종 정답을 도출합니다.

경우 1에서 210가지, 경우 2에서 126가지가 나왔으므로,

모든 순서쌍의 개수는 $210 + 126 = 336$ 입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 분석

$a \times d$ 홀수 $⟹ a, d$ 는 홀수

$b + c$ 짝수 $⟹ b, c$ 는 모두 홀수이거나 모두 짝수

step2. $b, c$ 가 모두 홀수인 경우

$a, b, c, d$ 모두 13 이하의 홀수 --- 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13

--- $a \leq b \leq c \leq d$ 이므로 중복조합 이용

$_{7} H_{4} = (\binom{10}{4}) = 210$

step3. $b, c$ 가 모두 짝수인 경우

$a, d$ 는 홀수, $b, c$ 는 짝수

--- 홀수와 짝수는 같을 수 없으므로

$a < b \leq c < d$

$a = 2 x - 1, b = 2 u, c = 2 v, d = 2 y - 1$ ( $1 \leq x \leq y \leq 7$ ) 대입

$2 x - 1 < 2 u \leq 2 v < 2 y - 1$

$2 x \leq 2 u \leq 2 v \leq 2 y - 2$

$x \leq u \leq v \leq y - 1$

--- $y \leq 7$ 이므로 $y - 1 \leq 6$

$1 \leq x \leq u \leq v \leq y - 1 \leq 6$

$_{6} H_{4} = (\binom{9}{4}) = 126$

step4. 최종 계산

$210 + 126 = 336$

$∴ 336$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$a \times d$ 가 홀수, $b + c$ 가 짝수라는 조건에서 $a, d$ 가 홀수이고 $b, c$ 가 홀홀 또는 짝짝으로 나뉜다는 것은 쉽게 파악하지만, $b, c$ 가 짝수인 경우 $a \leq b \leq c \leq d$ 부등식을 어떻게 처리해야 할지 막막할 수 있습니다.
홀수와 짝수가 섞여 있는 부등식 $a \leq b \leq c \leq d$ 를 그대로 중복조합에 적용하려다 오류를 범하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

홀수와 짝수는 같을 수 없다는 성질을 이용하여, $a \leq b$ 를 $a < b$ 로, $c \leq d$ 를 $c < d$ 로 엄격한 부등식으로 바꿉니다.
각 변수를 $2 k$ 또는 $2 k - 1$ 형태로 치환한 뒤, 2로 나누어 새로운 변수들에 대한 깔끔한 부등식 $x \leq u \leq v \leq y - 1$ 을 만들어 중복조합을 적용합니다.
(확장 팁) 홀수/짝수 조건이 섞인 부등식은 $2 k, 2 k - 1$ 로 치환하여 정수 조건의 부등식으로 변환하면 중복조합을 쉽게 쓸 수 있습니다.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 확통 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 중복조합 / 경우의 수
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구