(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]

28. 주머니 A에는 숫자 1, 2, 3이 하나씩 적힌 3개의 공이 들어 있고, 주머니 B에는 숫자 1, 2, 3, 4가 하나씩 적힌 4개의 공이 들어 있다. 두 주머니 A, B와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져
나온 눈의 수가 3의 배수이면
주머니 A에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내고,
나온 눈의 수가 3의 배수가 아니면
주머니 B에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낸다.
꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 수의 차를 기록한 후,
공을 꺼낸 주머니에 이 2개의 공을 다시 넣는다.

이 시행을 2번 반복하여 기록한 두 개의 수의 평균을

\overset{―}{X}

라 할 때,

P (\overset{―}{X} = 2)

의 값은? [4점]
①

\frac{11}{81}

②

\frac{13}{81}

③

\frac{5}{27}

④

\frac{17}{81}

⑤

\frac{19}{81}

이 문제는 조건에 따라 달라지는 확률변수의 분포를 구하고, 표본평균의 정의를 이용하여 특정 표본평균 값을 가질 확률을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

- 주머니 A에는 숫자 1, 2, 3이 하나씩 적힌 3개의 공이 들어 있음
- 주머니 B에는 숫자 1, 2, 3, 4가 하나씩 적힌 4개의 공이 들어 있음
- 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 3의 배수이면 주머니 A에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼냄
- 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 3의 배수가 아니면 주머니 B에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼냄
- 꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 수의 차를 기록한 후, 공을 꺼낸 주머니에 다시 넣음
- 이 시행을 2번 반복하여 기록한 두 개의 수의 평균을

\overset{―}{X}

라 함

이 문제는 한 번의 시행에서 나올 수 있는 수의 차이( $X$ )의 확률분포를 먼저 구한 뒤, 두 번의 시행 결과의 합이 4가 되는 경우를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 한 번의 시행에서 주머니 A, B를 선택할 확률을 구합니다.

step2. 주머니 A, B 각각에서 두 공을 꺼낼 때 수의 차이에 대한 확률을 구합니다.

step3. step1과 step2를 종합하여 한 번의 시행에서 수의 차이 $X$ 의 확률분포를 완성합니다.

step4. $\overset{―}{X} = 2$ 가 되기 위한 두 번의 시행 결과 조합을 찾습니다.

step5. 각 조합의 확률을 계산하고 더하여 최종 정답을 도출합니다.

- 표본평균의 정의 : 크기가 $n$ 인 표본 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 을 추출했을 때, 표본평균 $\overset{―}{X}$ 는 $\overset{―}{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}$ 으로 정의됩니다.

- 전확률의 법칙 : 사건 $E$ 가 일어날 확률은, 서로 배반인 사건 $A, B$ 에 대하여 $P (E) = P (A \cap E) + P (B \cap E) = P (A) P (E | A) + P (B) P (E | B)$ 로 구할 수 있습니다.

문제가 길고 복잡해 보일 때는 '한 번의 시행'에서 어떤 일이 일어나는지부터 파악하는 것이 중요해요. 이 문제에서 한 번의 시행 결과로 기록되는 값은 '두 공의 수의 차이'입니다. 이 값을 확률변수

X

라고 두고,

X

가 어떤 값들을 가질 수 있는지, 그리고 그 확률은 얼마인지 표로 만들어보는 것이 첫 번째 목표입니다.

step1. 주머니 A, B를 선택할 확률 구하기

주사위를 한 번 던져서 3의 배수(3, 6)가 나오면 주머니 A를, 그렇지 않으면(1, 2, 4, 5) 주머니 B를 선택합니다.

따라서 주머니 A를 선택할 확률 $P (A)$ 와 주머니 B를 선택할 확률 $P (B)$ 는 다음과 같아요.

$P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$P (B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

step2. 주머니별 수의 차이 확률 구하기

이제 각 주머니에서 공을 2개 꺼낼 때, 두 수의 차이가 어떻게 되는지 알아볼게요.

먼저 주머니 A {1, 2, 3}에서 2개를 꺼내는 경우입니다.

전체 경우의 수는 $(\binom{3}{2}) = 3$ 가지예요.

- 차이가 1인 경우: (1, 2), (2, 3) $\to$ 2가지

- 차이가 2인 경우: (1, 3) $\to$ 1가지

다음으로 주머니 B {1, 2, 3, 4}에서 2개를 꺼내는 경우입니다.

전체 경우의 수는 $(\binom{4}{2}) = 6$ 가지예요.

- 차이가 1인 경우: (1, 2), (2, 3), (3, 4) $\to$ 3가지

- 차이가 2인 경우: (1, 3), (2, 4) $\to$ 2가지

- 차이가 3인 경우: (1, 4) $\to$ 1가지

step3. $X$ 의 확률분포 완성하기

한 번의 시행에서 기록되는 두 수의 차이를 확률변수 $X$ 라고 할게요. $X$ 가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3입니다.

주머니 A를 거쳐서 차이가 나오는 경우와 주머니 B를 거쳐서 차이가 나오는 경우를 더해주어야 합니다.

- $X = 1$ 일 확률:

$P (X = 1) = P (A) \times (A 에서 차이가 1일 확률) + P (B) \times (B 에서 차이가 1일 확률)$

$= \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{6} = \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{5}{9}$

- $X = 2$ 일 확률:

$P (X = 2) = P (A) \times (A 에서 차이가 2일 확률) + P (B) \times (B 에서 차이가 2일 확률)$

$= \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9}$

- $X = 3$ 일 확률:

$P (X = 3) = P (A) \times (A 에서 차이가 3일 확률) + P (B) \times (B 에서 차이가 3일 확률)$

$= \frac{1}{3} \times 0 + \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = 0 + \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$

step4. $\overset{―}{X} = 2$ 가 되기 위한 조건 찾기

시행을 2번 반복하여 얻은 두 수를 각각 $X_{1}, X_{2}$ 라고 할게요.

표본평균 $\overset{―}{X}$ 는 두 수의 평균이므로 $\overset{―}{X} = \frac{X_{1} + X_{2}}{2}$ 입니다.

우리가 구해야 하는 것은 $\overset{―}{X} = 2$ 일 확률이므로, 식을 정리하면 다음과 같아요.

$\frac{X_{1} + X_{2}}{2} = 2 ⟺ X_{1} + X_{2} = 4$

평균이 2라고 해서 각각의 시행 결과가 무조건 2가 나와야 하는 것은 아닙니다. 합이 4가 되는 모든 경우를 고려해야 해요.

$X$ 는 1, 2, 3의 값을 가질 수 있으므로, 합이 4가 되는 $(X_{1}, X_{2})$ 의 순서쌍은 다음과 같습니다.

$(1, 3), (2, 2), (3, 1)$

step5. 최종 확률 계산하기

이제 step4에서 찾은 세 가지 경우의 확률을 각각 구해서 더해주면 됩니다. 각 시행은 독립적이므로 확률을 곱해주면 돼요.

- 첫 번째가 1, 두 번째가 3일 확률:

$P (X_{1} = 1) \times P (X_{2} = 3) = \frac{5}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{5}{81}$

- 첫 번째가 2, 두 번째가 2일 확률:

$P (X_{1} = 2) \times P (X_{2} = 2) = \frac{3}{9} \times \frac{3}{9} = \frac{9}{81}$

- 첫 번째가 3, 두 번째가 1일 확률:

$P (X_{1} = 3) \times P (X_{2} = 1) = \frac{1}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{81}$

따라서 구하는 최종 확률은 이 세 가지를 모두 더한 값입니다.

$P (\overset{―}{X} = 2) = \frac{5}{81} + \frac{9}{81} + \frac{5}{81} = \frac{19}{81}$

step1. 주머니 선택 확률

$P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $P (B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

step2. 주머니별 차이 확률

A에서 2개: $(\binom{3}{2}) = 3$ 가지. 차이 1은 (1,2), (2,3) $\to \frac{2}{3}$ , 차이 2는 (1,3) $\to \frac{1}{3}$

B에서 2개: $(\binom{4}{2}) = 6$ 가지. 차이 1은 (1,2), (2,3), (3,4) $\to \frac{3}{6}$ , 차이 2는 (1,3), (2,4) $\to \frac{2}{6}$ , 차이 3은 (1,4) $\to \frac{1}{6}$

step3. $X$ 의 확률분포

$P (X = 1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{9}$

$P (X = 2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{6} = \frac{3}{9}$

$P (X = 3) = 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{9}$

step4. $\overset{―}{X} = 2$ 조건

--- $\overset{―}{X}$ 는 두 번의 시행 결과의 평균이므로

$\overset{―}{X} = \frac{X_{1} + X_{2}}{2} = 2 ⟺ X_{1} + X_{2} = 4$

가능한 $(X_{1}, X_{2})$ 는 $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$

step5. 최종 확률 계산

$P (\overset{―}{X} = 2) = P (1) P (3) + P (2) P (2) + P (3) P (1)$

$= \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{9} + \frac{3}{9} \cdot \frac{3}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{5}{9} = \frac{19}{81}$

$∴ ⑤$

🔒 막힌 이유

표본평균 $\overset{―}{X} = 2$ 라는 조건을 어떻게 처리해야 할지 몰라 시작부터 막힐 수 있어요. 2번의 시행 결과를 각각 $X_{1}, X_{2}$ 라 할 때, 평균이 2가 되려면 두 수의 합이 4가 되어야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다.
한 번의 시행에서 나올 수 있는 수의 차이(확률변수 $X$ )의 확률을 구할 때, 주사위 결과에 따라 주머니가 달라지는 상황을 하나의 확률분포로 합치는 과정(전확률의 법칙)에서 계산 실수가 발생하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

$\overset{―}{X} = \frac{X_{1} + X_{2}}{2}$ 임을 상기하고, $\overset{―}{X} = 2$ 가 되기 위한 $X_{1}, X_{2}$ 의 합을 먼저 구한 뒤 가능한 순서쌍을 찾으세요.
한 번의 시행에서 나올 수 있는 차이 $X$ 의 값(1, 2, 3)을 분류하고, 각각의 확률을 'A주머니를 선택하고 차이가 $x$ 일 확률'과 'B주머니를 선택하고 차이가 $x$ 일 확률'로 나누어 더해주는 방식으로 차근차근 계산하세요.
(팁: 복잡한 확률 문제는 '한 번의 시행'에 대한 확률분포표를 먼저 완성하는 것이 핵심입니다.)

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 확률분포 / 표본평균 / 조건부확률 / 전확률의 법칙
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구