수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 필요한 함숫값 구하기

위 그림에서 점선으로 표시한 네 자리가 적분의 끝값이 되는 함숫값입니다.

$\cos \pi x$ 는 $x$ 가 짝수일 때 $1$, 홀수일 때 $-1$ 입니다. 따라서

$f(0)=2^{0+\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$

$f(1)=2^{2-\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}$

$f(2)=2^{4+\frac{1}{2}}=2^{\frac{9}{2}}=16\sqrt{2}$

$f(3)=2^{6-\frac{1}{2}}=2^{\frac{11}{2}}=32\sqrt{2}$

입니다. 참고로 지수 $2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \pi x$ 의 도함수가 $2-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin \pi x$ 이고 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<2$ 이므로 항상 양수입니다. 즉 $f$ 는 증가함수라 역함수 $g$ 가 존재합니다.

step2. 두 번째 적분을 치환하기

$x=f(u)$ 로 치환합니다. 그러면 $g(x)=u$, $dx=f^{\prime }(u)du$ 이고, 역함수의 미분법에서 $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(u)}}$ 입니다. 적분 구간은 $x:f(0)\to f(2)$ 이므로 $u:0\to 2$ 가 됩니다.

$g$ 와 $g^{\prime }$ 가 함께 들어 있고 분모가 $x$ 인 적분은 $x=f(u)$ 로 치환하라는 신호입니다. $g^{\prime }(x)dx={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(u)}}·f^{\prime }(u)du=du$ 로 깨끗이 정리되기 때문이에요.

${\int }_{f(0)}^{f(2)}{\displaystyle \frac{2^{4g(x)}{g}^{\prime }(x)}{x}}dx={\int }_0^2{\displaystyle \frac{2^{4u}}{f(u)}}du$

여기서 $f(u)=2^{2u+\frac{1}{2}\cos \pi u}$ 이므로

${\displaystyle \frac{2^{4u}}{f(u)}}=2^{4u-2u-\frac{1}{2}\cos \pi u}=2^{2u-\frac{1}{2}\cos \pi u}$

입니다. 이제 $u=v-1$ 로 한 번 더 치환합니다. $\cos \pi (v-1)=-\cos \pi v$ 이므로

$2^{2(v-1)+\frac{1}{2}\cos \pi v}={\displaystyle \frac{1}{4}}·2^{2v+\frac{1}{2}\cos \pi v}={\displaystyle \frac{1}{4}}f(v)$

이고 구간은 $v:1\to 3$ 이 됩니다. 따라서

${\int }_{f(0)}^{f(2)}{\displaystyle \frac{2^{4g(x)}{g}^{\prime }(x)}{x}}dx={\displaystyle \frac{1}{4}}{\int }_1^{3}f(v)dv$

입니다.

step3. 첫 번째 적분을 치환·부분적분하기

위 그림에서 회색으로 칠한 부분이 곡선 아래의 넓이 ∫f 이고, 그것을 큰 직사각형에서 덜어내는 관계예요.

같은 치환 $x=f(u)$ 를 쓰면 $g(x)=u$, $dx=f^{\prime }(u)du$ 이고 구간은 $u:1\to 3$ 이므로

${\int }_{f(1)}^{f(3)}g(x)dx={\int }_1^{3}u{f}^{\prime }(u)du$

입니다. 여기에 부분적분법을 적용하면

${\int }_1^{3}u{f}^{\prime }(u)du=[uf(u){]}_1^3-{\int }_1^{3}f(u)du=3f(3)-f(1)-{\int }_1^{3}f(u)du$

입니다.

여기 남은 ${\int }_1^{3}f(u)du$ 를 계산하려 하면 안 됩니다. $2^{2u+\frac{1}{2}\cos \pi u}$ 의 부정적분은 우리가 아는 함수로 쓸 수 없어요. 이 항은 step2의 결과와 더해져 사라질 몫입니다.

step4. 더해서 상쇄시키고 답 구하기

위 그림에서 회색 부분이 사라진 것처럼, 계산할 수 없던 두 적분이 서로 지워집니다.

이제 문제의 식을 그대로 더합니다.

${\displaystyle \frac{1}{4}}{\int }_{f(1)}^{f(3)}gdx+{\int }_{f(0)}^{f(2)}{\displaystyle \frac{2^{4g}{g}^{\prime }}{x}}dx={\displaystyle \frac{1}{4}}\{3f(3)-f(1)-{\int }_1^{3}f\}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{\int }_1^{3}f$

$={\displaystyle \frac{1}{4}}\{3f(3)-f(1)\}$

계산할 수 없던 두 적분이 정확히 상쇄됩니다. step1의 값을 넣으면

${\displaystyle \frac{1}{4}}(3·32\sqrt{2}-2\sqrt{2})={\displaystyle \frac{1}{4}}(96\sqrt{2}-2\sqrt{2})={\displaystyle \frac{94\sqrt{2}}{4}}={\displaystyle \frac{47}{2}}\sqrt{2}$

입니다. 즉 ${\displaystyle \frac{q}{p}}={\displaystyle \frac{47}{2}}$ 이고 $47$ 과 $2$ 는 서로소인 자연수이므로 $p=2$, $q=47$ 입니다.

$p+q=2+47=49$

따라서 정답은 $49$ 입니다.

step1. 함숫값

$f(0)=\sqrt{2}$, $f(1)=2\sqrt{2}$, $f(2)=16\sqrt{2}$, $f(3)=32\sqrt{2}$

step2. 둘째 적분

$x=f(u)$ → ${\int }_0^2{\displaystyle \frac{2^{4u}}{f(u)}}du={\int }_0^2{2}^{2u-\frac{1}{2}\cos \pi u}du$

$u=v-1$ → ${\displaystyle \frac{1}{4}}{\int }_1^{3}f(v)dv$   --- $\cos \pi (v-1)=-\cos \pi v$

step3. 첫째 적분

${\int }_{f(1)}^{f(3)}gdx={\int }_1^{3}u{f}^{\prime }(u)du=3f(3)-f(1)-{\int }_1^{3}f$

step4. 합

${\displaystyle \frac{1}{4}}\{3f(3)-f(1)\}={\displaystyle \frac{1}{4}}(96\sqrt{2}-2\sqrt{2})={\displaystyle \frac{47}{2}}\sqrt{2}$

$p=2$, $q=47$

∴ $49$