수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 접선 $l$ 의 방정식 구하기

위 그림에서 파란 점이 접점이고, 그 점을 지나는 직선 l 의 기울기가 여기서 구하는 값이에요.

$y={\displaystyle \frac{2}{x^2+x}}=2{(x^2+x)}^{-1}$ 이므로 합성함수의 미분법에 의해

$y^{\prime }=-2{(x^2+x)}^{-2}·(2x+1)=-{\displaystyle \frac{2(2x+1)}{{(x^2+x)}^2}}$

입니다. $x=1$ 을 넣으면

$y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{2·3}{2^2}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

이므로 점 $(1,1)$ 에서의 접선 $l$ 은

$y-1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x-1)$, 즉 $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$

입니다.

step2. 적분 구간과 위아래 정하기

위 그림에서 빨간 양방향 화살표가 가리키는 구간이 적분 구간이고, 회색으로 칠해진 부분이 구할 넓이입니다.

곡선과 접선은 접점 $x=1$ 에서 만납니다. 이 곡선은 $x>0$ 에서 아래로 볼록하므로 접선은 접점을 제외하면 항상 곡선보다 아래에 있어요.

접점이 곧 적분 구간의 왼쪽 끝입니다. 접점에서 두 그래프의 차가 $0$ 이 되어 색칠된 부분이 뾰족하게 닫히기 때문이에요. 오른쪽 끝은 문제가 준 $x=2$ 이므로 구간은 $1\le x\le 2$ 로 확정됩니다.

위아래도 확인해 두겠습니다. $x=2$ 에서 곡선은 ${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, 접선은 $-3+{\displaystyle \frac{5}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 이므로 곡선이 위입니다. 따라서 구하는 넓이는

$S={\int }_1^2\{{\displaystyle \frac{2}{x^2+x}}-(-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}})\}dx$

입니다.

step3. 부분분수로 쪼개어 적분하기

먼저 곡선 쪽입니다. $x^2+x=x(x+1)$ 이므로 부분분수로 쪼개면

${\displaystyle \frac{2}{x(x+1)}}=2({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}})$

입니다. 따라서

${\int }_1^2{\displaystyle \frac{2}{x^2+x}}dx=2[\ln x-\ln (x+1){]}_1^2=2(\ln {\displaystyle \frac{2}{3}}-\ln {\displaystyle \frac{1}{2}})=2\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}$

입니다.

분모를 그대로 두고 $\int {\displaystyle \frac{2}{x^2+x}}dx=2\ln (x^2+x)$ 로 쓰면 틀립니다. $\ln$ 으로 적분되려면 분자가 분모의 도함수여야 하는데 여기서는 그렇지 않아요. 반드시 부분분수로 쪼개야 합니다.

다음으로 접선 쪽입니다.

${\int }_1^2(-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}})dx={[-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{5}{2}}x]}_1^2=(-3+5)-(-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{2}})=2-{\displaystyle \frac{7}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

따라서

$S=2\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

입니다.

따라서 정답은 ②입니다.

step1. 접선

$y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{2(2x+1)}{{(x^2+x)}^2}}$, $y^{\prime }(1)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

$l:y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$

step2. 구간

접점 $x=1$ ~ $x=2$, 곡선이 위   --- 아래로 볼록이라 접선이 아래

step3. 적분

${\displaystyle \frac{2}{x^2+x}}=2({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}})$

${\int }_1^2=2\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}$

${\int }_1^2(-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}})dx={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$S=2\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

$\therefore ②$