수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 수렴 조건을 부등식으로 세우기

위 수직선에서 파란 구간이 수렴을 보장하는 공비의 범위이고, 왼쪽 끝은 빈 점, 오른쪽 끝은 채운 점입니다.

$r={\displaystyle \frac{k^2-20}{16}}$ 이라 하면 $a_n=r^n$ 이므로 $\{a_n\}$ 은 공비가 $r$ 인 등비수열입니다.

등비수열 $\{r^n\}$ 이 수렴할 조건은 $-1<r\le 1$ 이므로

$-1<{\displaystyle \frac{k^2-20}{16}}\le 1$

입니다.

수렴 조건을 $|r|<1$ 로만 기억하면 $r=1$ 인 경우가 빠집니다. $r=1$ 이면 모든 항이 $1$ 인 상수수열이라 수렴해요. 반대로 $r=-1$ 이면 $-1$ 과 $1$ 이 번갈아 나와 진동하므로 수렴하지 않습니다. 왼쪽에는 등호가 없고 오른쪽에는 있다는 비대칭이 이 문제의 핵심입니다.

step2. $k^2$ 에 대한 부등식으로 정리하기

위 수직선에서 파란 구간 안에 들어오는 제곱수가 빨간 점으로 표시된 9, 16, 25, 36 입니다.

각 변에 양수 $16$ 을 곱해도 부등호의 방향은 바뀌지 않으므로

$-16<k^2-20\le 16$

이고, 각 변에 $20$ 을 더하면

$4<k^2\le 36$

입니다.

step3. 정수 $k$ 세기

위 수직선에서 빨간 점이 조건을 만족하는 정수 k 입니다.

$k$ 는 정수이므로 $k^2$ 도 정수인 제곱수입니다. $4<k^2$ 에서 $k^2$ 은 $4$ 보다 커야 하니 $k^2\ge 9$, 즉 $|k|\ge 3$ 입니다. 또 $k^2\le 36$ 에서 $|k|\le 6$ 입니다.

$4<k^2$ 를 $|k|>2$ 로 읽은 뒤 '정수이므로 $|k|\ge 3$' 으로 넘어가는 것이 요령입니다. $|k|=2$ 는 $r=-1$ 이 되어 진동하는 경우이고, $|k|=6$ 은 $r=1$ 이 되어 수렴하는 경우예요. 양 끝이 서로 다르게 처리되는 이유가 여기서 드러납니다.

따라서 $|k|\in \{3,4,5,6\}$ 이고, 각각 부호가 두 가지씩이므로

$k=-6,-5,-4,-3,3,4,5,6$

의 $8$ 개입니다.

따라서 정답은 ③입니다.

step1. 수렴 조건

$r={\displaystyle \frac{k^2-20}{16}}$, $-1<r\le 1$   --- 등비수열 $\{r^n\}$ 의 수렴 조건

step2. 정리

$-16<k^2-20\le 16$

$4<k^2\le 36$

step3. 정수 세기

$|k|\ge 3$ 이고 $|k|\le 6$   --- $k$ 가 정수이므로 $k^2>4\Rightarrow k^2\ge 9$

$k=\pm 3,\pm 4,\pm 5,\pm 6$ → $8$ 개

$\therefore ③$