수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 넓이 $t$ 를 중심각으로 나타내기

위 그림에서 파란 선분이 삼각형 OAP 의 나머지 한 변이고, 각 α 가 직선의 위치를 정하는 변수예요.

직선의 위치를 정하는 변수로 $\alpha =\angle \mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{P}$ 를 잡겠습니다. 점 $B$ 가 선분 $\mathrm{O}\mathrm{A}$ 위에 있으므로 $\angle \mathrm{B}\mathrm{O}\mathrm{P}$ 도 $\alpha$ 입니다.

색칠된 도형은 호 $\mathrm{B}\mathrm{P}$ 와 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{A}\mathrm{P}$ 로 둘러싸여 있는데, 이는 삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{P}$ 에서 부채꼴 $\mathrm{O}\mathrm{B}\mathrm{P}$ 를 덜어낸 것과 같습니다. 호로 막힌 도형은 이렇게 '직선 도형 $-$ 부채꼴'로 분해하는 것이 정석이에요.

$\overline{\mathrm{O}\mathrm{A}}=5$, $\overline{\mathrm{O}\mathrm{P}}=2$ 이고 끼인각이 $\alpha$ 이므로

$△\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{P}={\displaystyle \frac{1}{2}}·5·2·\sin \alpha =5\sin \alpha$

부채꼴 $\mathrm{O}\mathrm{B}\mathrm{P}$ 는 반지름이 $2$, 중심각이 $\alpha$ 이므로

${\displaystyle \frac{1}{2}}·2^2·\alpha =2\alpha$

따라서

$t=5\sin \alpha -2\alpha$, ${\displaystyle \frac{dt}{d\alpha }}=5\cos \alpha -2$

입니다.

step2. 각 $f$ 와 $\alpha$ 를 잇는 관계식 세우기

위 그림에서 점 A 의 각 f - α 와 점 P 의 각 f(t) 가 삼각형 OPA 의 두 각입니다.

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{P}}<\overline{\mathrm{A}\mathrm{Q}}$ 이므로 점 $P$ 는 $A$ 와 $Q$ 사이에 있습니다. 따라서 점 $P$ 에서 $Q$ 를 향하는 방향과 $A$ 를 향하는 방향은 서로 반대이고,

$\angle \mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{A}=\pi -f$

입니다.

$\angle \mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{Q}$ 와 $\angle \mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{A}$ 를 같은 각으로 두면 안 됩니다. 두 각은 보각이에요. 이 한 곳에서 어긋나면 이후 계산이 전부 달라집니다.

삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{A}$ 의 세 각의 합에서 $\angle \mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{P}=\pi -\alpha -(\pi -f)=f-\alpha$ 이므로 사인법칙에 의해

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{O}\mathrm{P}}}{\sin \angle \mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{P}}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{O}\mathrm{A}}}{\sin \angle \mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{A}}}$, 즉 ${\displaystyle \frac{2}{\sin (f-\alpha )}}={\displaystyle \frac{5}{\sin (\pi -f)}}={\displaystyle \frac{5}{\sin f}}$

이고, 정리하면

$2\sin f=5\sin (f-\alpha )$

입니다. 이 식은 점 $O$ 에서 직선 $\mathrm{P}\mathrm{Q}$ 까지의 거리를 두 가지로 센 것이기도 합니다. 삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{Q}$ 가 $\overline{\mathrm{O}\mathrm{P}}=\overline{\mathrm{O}\mathrm{Q}}=2$ 인 이등변삼각형이라 그 거리가 $2\sin f$ 이고, 삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{A}$ 쪽에서 보면 $5\sin (f-\alpha )$ 이기 때문이에요.

step3. $\tan f={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 일 때의 값 구하기

$\tan f={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 이고 $f$ 는 삼각형의 한 각이므로

$\sin f={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}}$, $\cos f={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}}$

입니다. $\beta =f-\alpha$ 로 두면 step2의 관계식에서

$2·{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}}=5\sin \beta$, 즉 $\sin \beta ={\displaystyle \frac{6}{5\sqrt{13}}}$

이고, $\beta$ 는 삼각형의 한 각이라 $\cos \beta >0$ 인 쪽을 택하면

$\cos \beta =\sqrt{1-{\displaystyle \frac{36}{325}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{289}{325}}}={\displaystyle \frac{17}{5\sqrt{13}}}$

입니다. $\alpha =f-\beta$ 이므로

$\cos \alpha =\cos f\cos \beta +\sin f\sin \beta ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}}·{\displaystyle \frac{17}{5\sqrt{13}}}+{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}}·{\displaystyle \frac{6}{5\sqrt{13}}}={\displaystyle \frac{34+18}{65}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$

입니다.

step4. 미분하여 $f^{\prime }(k)$ 구하기

먼저 step2의 관계식 $2\sin f=5\sin (f-\alpha )$ 의 양변을 $\alpha$ 로 미분합니다.

$2\cos f·{\displaystyle \frac{df}{d\alpha }}=5\cos (f-\alpha )({\displaystyle \frac{df}{d\alpha }}-1)$

${\displaystyle \frac{df}{d\alpha }}$ 에 대해 정리하면

${\displaystyle \frac{df}{d\alpha }}={\displaystyle \frac{5\cos (f-\alpha )}{5\cos (f-\alpha )-2\cos f}}$

이고, step3의 값을 넣으면

${\displaystyle \frac{df}{d\alpha }}={\displaystyle \frac{5·\frac{17}{5\sqrt{13}}}{5·\frac{17}{5\sqrt{13}}-2·\frac{2}{\sqrt{13}}}}={\displaystyle \frac{17}{17-4}}={\displaystyle \frac{17}{13}}$

입니다. 또 step1에서

${\displaystyle \frac{dt}{d\alpha }}=5\cos \alpha -2=5·{\displaystyle \frac{4}{5}}-2=2$

이므로 연쇄법칙에 의해

$f^{\prime }(k)={\displaystyle \frac{df}{dt}}={\displaystyle \frac{df/d\alpha }{dt/d\alpha }}={\displaystyle \frac{17/13}{2}}={\displaystyle \frac{17}{26}}$

입니다.

따라서 정답은 ④입니다.

step1. 넓이

$\alpha =\angle \mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{P}$

$t={\displaystyle \frac{1}{2}}·5·2\sin \alpha -{\displaystyle \frac{1}{2}}·2^2\alpha =5\sin \alpha -2\alpha$   --- 삼각형 $-$ 부채꼴

${\displaystyle \frac{dt}{d\alpha }}=5\cos \alpha -2$

step2. 관계식

$\angle \mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{A}=\pi -f$, $\angle \mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{P}=f-\alpha$

$2\sin f=5\sin (f-\alpha )$   --- 사인법칙

step3. 값

$\sin f={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}}$, $\cos f={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}}$

$\sin \beta ={\displaystyle \frac{6}{5\sqrt{13}}}$, $\cos \beta ={\displaystyle \frac{17}{5\sqrt{13}}}$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{34+18}{65}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$

step4. 미분

${\displaystyle \frac{df}{d\alpha }}={\displaystyle \frac{5\cos \beta }{5\cos \beta -2\cos f}}={\displaystyle \frac{17}{13}}$

${\displaystyle \frac{dt}{d\alpha }}=2$

$f^{\prime }(k)={\displaystyle \frac{17/13}{2}}={\displaystyle \frac{17}{26}}$

$\therefore ④$