수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 공비의 범위 정하기

위 수직선에서 빨간 구간이 두 조건을 함께 만족하는 공비의 범위입니다.

$a_1=a$, 공비를 $r$ 라 하겠습니다. $a_1>0$ 이고 $a_2=ar<0$ 이므로 $a>0$, $r<0$ 입니다.

급수 $\sum b_n$ 이 수렴하므로 $b_n\to 0$ 이어야 합니다. 만약 $|r|\ge 1$ 이면 $\left|a_n\right|=a|r{|}^{n-1}$ 이 줄지 않으므로, $b_n$ 이 $a_n-a_1$ 이든 ${\left(a_n\right)}^2$ 이든 $0$ 으로 갈 수 없습니다.

따라서 $|r|<1$ 이고, 종합하면 $-1<r<0$ 입니다.

$|r|<1$ 이 정해지면 $\left|a_n\right|$ 이 단조감소한다는 사실이 따라옵니다. 그래서 $\left|a_n\right|\ge 10$ 인 항은 앞쪽 몇 개뿐이고 뒤쪽은 전부 제곱항이 되어, 급수를 '앞의 몇 항 + 등비급수'로 깔끔하게 나눌 수 있어요.

step2. $b_3$ 을 확정하고 $b_2$ 로 경우 나누기

(가)의 좌변 ${\left(b_2\right)}^2$ 은 제곱이므로 $0$ 이상입니다. 따라서 $36b_3\ge 0$, 즉 $b_3\ge 0$ 이어야 합니다.

만약 $\left|a_3\right|\ge 10$ 이라면 $b_3=a_3-a_1=a(r^2-1)$ 인데, $a>0$ 이고 $0<r^2<1$ 이므로 이 값은 음수입니다. 모순이에요.

따라서 $\left|a_3\right|<10$ 이고 $b_3={\left(a_3\right)}^2$ 입니다.

이제 $b_2$ 만 갈림길로 남습니다.

(i) $\left|a_2\right|<10$ 이면 $b_2={\left(a_2\right)}^2$ 이므로 (가)는 ${\left(a_2\right)}^4=36{\left(a_3\right)}^2=36{\left(a_2\right)}^2{r}^2$ 이고, ${\left(a_2\right)}^2=36r^2$ 에서 $\left|a_2\right|=6|r|$, 즉 $a=6$ 입니다. 그런데 $a=6<10$ 이면 모든 항에서 $\left|a_n\right|<10$ 이라 $b_n={\left(a_n\right)}^2$ 이고, (나)에서 ${\displaystyle \frac{a^2}{1-r^2}}={\displaystyle \frac{36}{1-r^2}}=12$ 가 되어 $1-r^2=3$, 곧 $r^2=-2$ 라는 불가능한 결과가 나옵니다. 이 경우는 없습니다.

(ii) 따라서 $\left|a_2\right|\ge 10$ 입니다. 이때 $\left|a_1\right|>\left|a_2\right|\ge 10$ 이므로 $b_1=a_1-a_1=0$ 이고 $b_2=a_2-a_1=a(r-1)$ 입니다.

step3. (가)로 공비를, (나)로 첫째항을 구하기

(가)에 대입하면

${\{a(r-1)\}}^2=36{\left(a{r}^2\right)}^2$

이고 $a>0$ 이므로 $a^2$ 을 약분하여

$(r-1{)}^2=36r^4$, 즉 $|r-1|=6r^2$

입니다. $r<0$ 이므로 $r-1<0$ 이고 $1-r=6r^2$ 입니다. 정리하면

$6r^2+r-1=0$, $(3r-1)(2r+1)=0$

에서 $r={\displaystyle \frac{1}{3}}$ 또는 $r=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 이고, $r<0$ 이므로 $r=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 입니다.

다음으로 (나)입니다. $b_1=0$, $b_2=a(r-1)$ 이고 $n\ge 3$ 부터는 $b_n={\left(a_n\right)}^2$ 인데, $\left\{{\left(a_n\right)}^2\right\}$ 은 첫째항이 ${\left(a_3\right)}^2$ 이고 공비가 $r^2$ 인 등비수열이므로

${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n=0+a(r-1)+{\displaystyle \frac{{\left(a{r}^2\right)}^2}{1-r^2}}=12$

입니다. $r=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 를 넣으면 $r-1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, ${\left(a{r}^2\right)}^2={\displaystyle \frac{a^2}{16}}$, $1-r^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$ 이므로

$-{\displaystyle \frac{3a}{2}}+{\displaystyle \frac{a^2}{12}}=12$

양변에 $12$ 를 곱하면 $a^2-18a-144=0$, 즉 $(a-24)(a+6)=0$ 이고 $a>0$ 이므로 $a=24$ 입니다.

step4. 가정 확인하고 값 구하기

위 그림에서 회색 점선이 ±10 의 경계이고, 앞의 두 항만 그 밖에 있음을 볼 수 있어요.

$a_1=24$, $r=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 이므로 $a_2=-12$, $a_3=6$ 입니다.

여기서 반드시 되짚어야 할 것이 있습니다. step2의 (ii)는 $\left|a_1\right|,\left|a_2\right|\ge 10$ 이고 $\left|a_3\right|<10$ 이라는 가정 위에서 세운 식이에요. 실제로 $24,12\ge 10$ 이고 $6<10$ 이므로 가정과 맞습니다. 이 확인을 빠뜨리면 조건과 어긋나는 답을 그대로 내게 됩니다.

두 조건도 직접 확인됩니다. $b_1=0$, $b_2=-12-24=-36$, $b_3=6^2=36$ 이므로 ${\left(b_2\right)}^2=1296=36\times 36=36b_3$ 이고, $\sum b_n=0-36+{\displaystyle \frac{36}{1-\frac{1}{4}}}=-36+48=12$ 입니다.

이제 구하는 값을 계산합니다.

$a_4=24{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^3=-3$, $a_6=24{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^5=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

$36\times a_4\times a_6=36\times (-3)\times (-{\displaystyle \frac{3}{4}})=81$

따라서 정답은 $81$ 입니다.

step1. 공비 범위

$a_1=a>0$, $r<0$; $\sum b_n$ 수렴 $\Rightarrow |r|<1$

step2. 갈림길 확정

${\left(b_2\right)}^2\ge 0\Rightarrow b_3\ge 0\Rightarrow b_3={\left(a_3\right)}^2$

$\left|a_2\right|<10$ 이면 $a=6$ → ${\displaystyle \frac{36}{1-r^2}}=12$ 불가

$\therefore \left|a_1\right|,\left|a_2\right|\ge 10$, $b_1=0$, $b_2=a(r-1)$

step3. 연립

$(r-1{)}^2=36r^4\Rightarrow 6r^2+r-1=0\Rightarrow r=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$-{\displaystyle \frac{3a}{2}}+{\displaystyle \frac{a^2}{12}}=12\Rightarrow a^2-18a-144=0\Rightarrow a=24$

step4. 값

$24,-12,6$ → 가정과 일치

$a_4=-3$, $a_6=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

$36\times (-3)\times (-{\displaystyle \frac{3}{4}})=81$

∴ $81$