수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 부분적분법 적용하기

$u=3x+1$, $v^{\prime }=e^x$ 로 두면 $u^{\prime }=3$, $v=e^x$ 입니다.

다항식을 $u$ 로 잡는 이유는 미분하면 차수가 낮아지기 때문이에요. 여기서는 한 번 미분하면 상수 $3$ 이 되어 남은 적분이 $\int 3e^{x}dx$ 라는 아주 간단한 꼴이 됩니다. 반대로 잡으면 다항식이 적분되어 차수가 올라가고 식이 더 복잡해집니다.

부분적분법에 의해

${\int }_0^1(3x+1)e^{x}dx=[(3x+1)e^x{]}_0^1-{\int }_0^{1}3e^{x}dx$

입니다.

step2. 대입 부분과 남은 적분 계산하기

먼저 대입 부분입니다.

$[(3x+1)e^x{]}_0^1=(3·1+1)e^1-(3·0+1)e^0=4e-1$

$x=0$ 을 넣은 값 $1$ 을 빼는 것을 잊기 쉽습니다. $e^0=1$ 이라 눈에 잘 안 띄지만 반드시 빼야 해요.

다음으로 남은 적분입니다.

${\int }_0^{1}3e^{x}dx=3[e^x{]}_0^1=3(e-1)=3e-3$

따라서

${\int }_0^1(3x+1)e^{x}dx=(4e-1)-(3e-3)=e+2$

입니다. 부정적분 $(3x-2)e^x$ 를 직접 써서 $[(3x-2)e^x{]}_0^1=e-(-2)=e+2$ 로 확인해도 같습니다.

따라서 정답은 ①입니다.

step1. 부분적분

${\int }_0^1(3x+1)e^{x}dx=[(3x+1)e^x{]}_0^1-{\int }_0^{1}3e^{x}dx$

step2. 계산

$[(3x+1)e^x{]}_0^1=4e-1$

${\int }_0^{1}3e^{x}dx=3(e-1)$

$(4e-1)-(3e-3)=e+2$

$\therefore ①$