수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $f^{\prime }(x)$ 를 구하고 $h^{\prime }(1)$ 을 정리하기

위 그림에서 파란 점이 x = 1 에 대응하는 자리이고, 거기서 f 의 값이 0 임을 볼 수 있습니다.

$u=\ln x$ 로 두면 $f=u^3-3u$ 이고 ${\displaystyle \frac{du}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$ 이므로

$f^{\prime }(x)=(3u^2-3)·{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{3\{(\ln x{)}^2-1\}}{x}}$

입니다.

$h(x)=g(f(x))$ 이므로 합성함수의 미분법에서 $h^{\prime }(x)=g^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)$ 이고,

$f(1)=0^3-3·0=0$, $f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{3(0-1)}{1}}=-3$

이므로

$h^{\prime }(1)=g^{\prime }(0)\times (-3)$

입니다. 이제 남은 것은 $g^{\prime }(0)$ 하나예요.

$g(f(t))=t^2$ 을 보고 $h(x)=g(f(x))=x^2$ 이라 단정해 $h^{\prime }(1)=2$ 라 답하기 쉽습니다. 그 등식은 $t\ge e$ 인 $t$ 에 대해서만 주어졌고 $x=1$ 은 그 범위 밖이므로 쓸 수 없습니다.

step2. 조건을 미분하여 $g^{\prime }$ 의 식 얻기

위 그림에서 빨간 화살표가 조건이 성립하는 범위이고, 그 안에서만 값을 가져올 수 있어요.

$g$ 는 식이 주어지지 않았으므로, $g^{\prime }$ 에 접근하는 통로는 조건식 $g(f(t))=t^2$ 하나뿐입니다. $t\ge e$ 에서 양변을 $t$ 에 대하여 미분하면

$g^{\prime }(f(t))f^{\prime }(t)=2t$

입니다. 즉 $f(t)$ 가 만들어 내는 값에서의 $g^{\prime }$ 를 알 수 있어요.

우리가 원하는 것은 $g^{\prime }(0)$ 입니다. 그러려면 $f(t)=0$ 이 되어야 하는데, 이 식이 성립하는 범위가 $t\ge e$ 이므로 그 안에서 $f(t)=0$ 인 $t$ 를 찾아야 합니다. $f(1)=0$ 이라고 해서 $t=1$ 을 넣을 수는 없어요.

step3. $f(t)=0$ 인 $t\ge e$ 를 찾아 마무리하기

위 그림에서 빨간 점이 그 범위 안에서 f 가 다시 0 이 되는 자리입니다.

$u=\ln t$ 라 하면 $f(t)=u^3-3u=u(u^2-3)$ 이므로 $f(t)=0$ 은

$u=0$ 또는 $u=\sqrt{3}$ 또는 $u=-\sqrt{3}$

입니다. 그런데 $t\ge e$ 이면 $u=\ln t\ge 1$ 이므로 가능한 것은 $u=\sqrt{3}$ 뿐이고, 이때 $t=e^{\sqrt{3}}$ 입니다. ($u\ge 1$ 에서 ${\displaystyle \frac{df}{du}}=3u^2-3\ge 0$ 이라 $f$ 가 증가하므로 이런 $t$ 는 하나뿐입니다.)

$t=e^{\sqrt{3}}$ 에서

$f^{\prime }\left(e^{\sqrt{3}}\right)={\displaystyle \frac{3\{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1\}}{e^{\sqrt{3}}}}={\displaystyle \frac{6}{e^{\sqrt{3}}}}$

이므로 step2의 식에 $t=e^{\sqrt{3}}$ 을 넣으면

$g^{\prime }(0)·{\displaystyle \frac{6}{e^{\sqrt{3}}}}=2e^{\sqrt{3}}$, 즉 $g^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{2e^{\sqrt{3}}·e^{\sqrt{3}}}{6}}={\displaystyle \frac{e^{2\sqrt{3}}}{3}}$

입니다. 따라서

$h^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{e^{2\sqrt{3}}}{3}}\times (-3)=-e^{2\sqrt{3}}$

입니다.

따라서 정답은 ⑤입니다.

step1. 합성함수의 미분

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3\{(\ln x{)}^2-1\}}{x}}$

$f(1)=0$, $f^{\prime }(1)=-3$

$h^{\prime }(1)=g^{\prime }(0)·(-3)$

step2. 조건 미분

$g^{\prime }(f(t))f^{\prime }(t)=2t(t\ge e)$

step3. $f(t)=0$ 인 $t\ge e$

$\ln t=\sqrt{3}$, $t=e^{\sqrt{3}}$   --- $t\ge e$ 에서 $\ln t\ge 1$

$f^{\prime }\left(e^{\sqrt{3}}\right)={\displaystyle \frac{6}{e^{\sqrt{3}}}}$

$g^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{2e^{\sqrt{3}}}{6/e^{\sqrt{3}}}}={\displaystyle \frac{e^{2\sqrt{3}}}{3}}$

$h^{\prime }(1)=-e^{2\sqrt{3}}$

$\therefore ⑤$