수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 기본 극한의 모양으로 변형하기

$2x+1=1+2x$ 이므로 주어진 식은 ${\displaystyle \frac{x}{\ln (1+2x)}}$ 입니다. 여기서 $2x$ 를 하나의 덩어리로 보겠습니다.

분자의 $x$ 를 ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2x$ 로 쓰면

${\displaystyle \frac{x}{\ln (1+2x)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}·{\displaystyle \frac{2x}{\ln (1+2x)}}$

가 됩니다.

기본 극한은 '로그 안의 $1$ 뒤에 붙은 것'과 '분모(또는 분자)의 식'이 똑같아야 쓸 수 있습니다. 그 둘을 $2x$ 로 맞추기 위해 상수 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 를 밖으로 빼내는 것이 이 문제의 전부예요.

step2. 기본 극한 적용하기

$x\to 0$ 이면 $2x\to 0$ 이므로 $t=2x$ 로 두면

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{2x}}=\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\ln (1+t)}{t}}=1$

입니다. 극한값이 $1$ 로 $0$ 이 아니므로 그 역수의 극한도 $1$ 입니다. 따라서

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x}{\ln (2x+1)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 1={\displaystyle \frac{1}{2}}$

입니다.

$\ln (2x+1)$ 을 $\ln 2x$ 나 $\ln 2+\ln x$ 처럼 쪼개면 안 됩니다. 로그는 곱에 대해서만 나뉘고 합에 대해서는 나뉘지 않아요.

따라서 정답은 ④입니다.

step1. 기본 극한 꼴로

${\displaystyle \frac{x}{\ln (1+2x)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}·{\displaystyle \frac{2x}{\ln (1+2x)}}$

step2. 적용

${\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{2x}}\to 1$   --- $t=2x\to 0$

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\therefore ④$