수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 초점의 위치 파악

주어진 타원의 방정식은 $\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$이에요. 조건에서 $0<b<4$라고 했으므로, $x^2$의 분모인 $4^2$이 $y^2$의 분모인 $b^2$보다 큽니다. 타원에서는 분모가 더 큰 쪽의 축 위에 초점이 존재하므로, 이 타원의 초점은 $x$축 위에 있다는 것을 알 수 있어요.

step2. 초점의 좌표 $c$ 구하기

초점의 좌표를 $(c,0),(-c,0)$ (단, $c>0$)이라고 해볼게요. 문제에서 두 초점 사이의 거리가 6이라고 주어졌어요. 초점 사이의 거리는 $c$가 아니라 $2c$라는 점을 놓치기 쉽습니다. 따라서 $2c=6$이 되고, 이를 풀면 $c=3$이 됩니다.

step3. $b^2$의 값 계산

이제 타원의 초점 공식을 사용할 차례예요. 초점이 $x$축 위에 있을 때, $c^2=a^2-b^2$이 성립합니다. 여기서 $a=4$, $c=3$이므로 식에 대입하면 $3^2=4^2-b^2$이 됩니다. 즉, $9=16-b^2$이므로, $b^2=16-9=7$이 됩니다. 따라서 우리가 구하고자 하는 $b^2$의 값은 7입니다.

step1. 초점의 위치 파악

$a=4$, $0<b<4$이므로 $a>b$

--- 초점은 $x$축 위에 있음

step2. 초점의 좌표 $c$ 구하기

초점을 $(c,0),(-c,0)$이라 하면

$2c=6⟹c=3$

step3. $b^2$의 값 계산

$c^2=a^2-b^2$

$3^2=4^2-b^2$

$9=16-b^2$

$\therefore b^2=7$