(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 기하 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 벡터의 성분 연산 법칙을 이용하여 좌변을 계산한 후 우변과 비교하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 벡터 $\vec{a}$ 에 실수 2를 곱하여 $2 \vec{a}$ 의 성분을 구합니다.

step2. 구한 $2 \vec{a}$ 와 벡터 $\vec{b}$ 를 더하여 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 의 성분을 구합니다.

step3. 계산된 결과와 주어진 $(9, k)$ 를 비교하여 $k$ 의 값을 찾습니다.

4. 풀이의 도구

- 평면벡터의 성분 연산 : 두 벡터 $\vec{u} = (u_{1}, u_{2})$ , $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ 와 실수 $m$ 에 대하여, $m \vec{u} = (m u_{1}, m u_{2})$ 이고, $\vec{u} + \vec{v} = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2})$ 입니다.

5. 구체적 풀이

벡터가 성분(좌표)으로 주어졌을 때는

x

성분은

x

성분끼리,

y

성분은

y

성분끼리 따로따로 계산하면 됩니다. 먼저

2 \vec{a}

를 계산하고, 거기에

\vec{b}

를 더해보세요.

step1. $2 \vec{a}$ 의 성분 구하기

먼저 벡터 $\vec{a}$ 에 2를 곱한 $2 \vec{a}$ 를 구해볼게요. 벡터의 실수배는 각 성분에 그 실수를 곱해주면 됩니다. 따라서 $2 \vec{a} = 2 (4, 0) = (2 \times 4, 2 \times 0) = (8, 0)$ 이 됩니다.

step2. $2 \vec{a} + \vec{b}$ 의 성분 구하기

이제 방금 구한 $2 \vec{a}$ 에 벡터 $\vec{b}$ 를 더해봅시다. 벡터의 덧셈을 할 때는 반드시 $x$ 성분은 $x$ 성분끼리, $y$ 성분은 $y$ 성분끼리 더해야 합니다. $2 \vec{a} + \vec{b} = (8, 0) + (1, 3) = (8 + 1, 0 + 3) = (9, 3)$ 이 됩니다.

step3. $k$ 의 값 구하기

문제에서 $2 \vec{a} + \vec{b} = (9, k)$ 라고 했으므로, 우리가 구한 $(9, 3)$ 과 비교해봅니다. $x$ 성분인 9는 서로 같고, $y$ 성분을 비교하면 $k = 3$ 임을 알 수 있어요. 따라서 정답은 3번입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. $2 \vec{a}$ 의 성분 구하기

$2 \vec{a} = 2 (4, 0) = (8, 0)$

step2. $2 \vec{a} + \vec{b}$ 의 성분 구하기

$2 \vec{a} + \vec{b} = (8, 0) + (1, 3) = (9, 3)$

step3. $k$ 의 값 구하기

$(9, 3) = (9, k)$ --- 두 벡터가 서로 같으므로

$∴ k = 3$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

벡터의 성분 연산(실수배, 덧셈) 방법을 정확히 알지 못하거나, $x$ 성분과 $y$ 성분을 각각 따로 계산해야 한다는 점을 놓칠 수 있습니다.

🔑 돌파구

벡터의 실수배는 각 성분에 실수를 곱하고, 덧셈은 $x$ 성분끼리, $y$ 성분끼리 더하면 됩니다.
벡터의 성분 연산은 좌표평면 위의 점의 이동처럼 $x$ 좌표와 $y$ 좌표를 독립적으로 계산한다고 생각하면 쉽습니다.

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 기하 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	기하 · 평면벡터 / 벡터의 연산
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구