(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 기하 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]

28. 좌표공간에 두 점

A (a, 0, 0)

B (0, 10 \sqrt{2}, 0)

과 구

S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100

이 있다.

∠ APO = \frac{π}{2}

인 구

S

위의 모든 점 P가 나타내는 도형을

C_{1}

∠ BQO = \frac{π}{2}

인 구

S

위의 모든 점 Q가 나타내는 도형을

C_{2}

라 하자.

C_{1}

과

C_{2}

가 서로 다른 두 점

N_{1}, N_{2}

에서 만나고

\cos (∠ N_{1} O N_{2}) = \frac{3}{5}

일 때,

a

의 값은? (단,

a > 10 \sqrt{2}

이고, O는 원점이다.) [4점]
①

\frac{10}{3} \sqrt{30}

②

\frac{15}{4} \sqrt{30}

③

\frac{25}{6} \sqrt{30}

④

\frac{55}{12} \sqrt{30}

⑤

5 \sqrt{30}

이 문제는 직각 조건을 이용하여 점의 자취를 구하고, 두 도형의 교점 좌표를 찾아 코사인 법칙으로 미지수를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

A (a, 0, 0), B (0, 10 \sqrt{2}, 0)

- 구 S: x²+y²+z²=100
-

∠ APO = \frac{π}{2} 인 구 S 위 의 점 P 의 자 취 C_{1}

∠ BQO = \frac{π}{2} 인 구 S 위 의 점 Q 의 자 취 C_{2}

- C₁과 C₂의 교점 N₁, N₂
-

\cos (∠ N_{1} O N_{2}) = \frac{3}{5}

a > 10 \sqrt{2}

이 문제는 직각 조건이 주어졌을 때 피타고라스 정리를 이용하여 점의 자취(구의 방정식)를 구하고, 두 구의 교선을 파악하여 교점의 좌표를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $∠ APO = \frac{π}{2}$ 조건을 이용하여 도형 $C_{1}$ 이 포함된 평면의 방정식을 구합니다.

step2. $∠ BQO = \frac{π}{2}$ 조건을 이용하여 도형 $C_{2}$ 가 포함된 평면의 방정식을 구합니다.

step3. $C_{1}$ 과 $C_{2}$ 의 교점 $N_{1}, N_{2}$ 의 좌표를 설정합니다.

step4. 코사인 법칙을 이용하여 $a$ 의 값을 계산합니다.

- 피타고라스 정리 : 직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같습니다.

- 코사인 법칙 : 삼각형 ABC에서 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ 가 성립합니다.

∠ APO = \frac{π}{2}

라는 조건을 보면 무엇이 떠오르나요? 평면에서는 선분 OA를 지름으로 하는 원이 떠오르겠지만, 공간에서는 선분 OA를 지름으로 하는 '구'가 됩니다. 점 P는 이 새로운 구 위에도 있고 원래의 구

S

위에도 있으므로, 두 구의 방정식을 연립하면 점 P가 그리는 도형

C_{1}

의 정체를 밝힐 수 있어요.

step1. 도형 C₁이 포함된 평면의 방정식 구하기

점 P의 좌표를 $(x, y, z)$ 라고 합시다.

삼각형 APO는 $∠ APO = \frac{π}{2}$ 인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 ${\overset{―}{O P}}^{2} + {\overset{―}{A P}}^{2} = {\overset{―}{O A}}^{2}$ 가 성립합니다.

${\overset{―}{O P}}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

${\overset{―}{A P}}^{2} = (x - a)^{2} + y^{2} + z^{2}$

${\overset{―}{O A}}^{2} = a^{2}$

이를 대입하면 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + (x - a)^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 이 됩니다.

전개하여 정리하면 $2 x^{2} - 2 a x + a^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} = a^{2}$ , 즉 $x^{2} - a x + y^{2} + z^{2} = 0$ 이 됩니다.

점 P는 구 $S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100$ 위의 점이기도 하므로, 두 식을 연립할 수 있습니다.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100$ 을 $x^{2} - a x + y^{2} + z^{2} = 0$ 에 대입하면 $100 - a x = 0$ 이 되어 $x = \frac{100}{a}$ 가 됩니다.

따라서 도형 $C_{1}$ 은 구 $S$ 와 평면 $x = \frac{100}{a}$ 가 만나서 생기는 원입니다.

step2. 도형 C₂가 포함된 평면의 방정식 구하기

마찬가지로 점 Q의 좌표를 $(x, y, z)$ 라고 하면, 직각삼각형 BQO에서 ${\overset{―}{O Q}}^{2} + {\overset{―}{B Q}}^{2} = {\overset{―}{O B}}^{2}$ 가 성립합니다.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + x^{2} + (y - 10 \sqrt{2})^{2} + z^{2} = (10 \sqrt{2})^{2} = 200$

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 20 \sqrt{2} y + 200 + 2 z^{2} = 200$

$x^{2} + y^{2} - 10 \sqrt{2} y + z^{2} = 0$

점 Q 역시 구 $S$ 위의 점이므로 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100$ 을 대입하면 $100 - 10 \sqrt{2} y = 0$ 이 되어 $y = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$ 가 됩니다.

따라서 도형 $C_{2}$ 는 구 $S$ 와 평면 $y = 5 \sqrt{2}$ 가 만나서 생기는 원입니다.

step3. 교점 N₁, N₂의 좌표 설정하기

두 도형 $C_{1}, C_{2}$ 가 만나는 점 $N_{1}, N_{2}$ 는 구 $S$ 위에 있으면서 동시에 $x = \frac{100}{a}$ 와 $y = 5 \sqrt{2}$ 를 만족해야 합니다.

이를 구 $S$ 의 방정식에 대입하여 $z$ 좌표를 구해봅시다.

$(\frac{100}{a})^{2} + (5 \sqrt{2})^{2} + z^{2} = 100$

$\frac{10000}{a^{2}} + 50 + z^{2} = 100$

$z^{2} = 50 - \frac{10000}{a^{2}}$

여기서 $z$ 값을 하나만 구하고 넘어가면 안 됩니다. 제곱근을 풀면 양수와 음수 두 개의 값이 나오며, 이것이 바로 두 교점 $N_{1}, N_{2}$ 의 $z$ 좌표가 됩니다.

편의상 $z_{0} = \sqrt{50 - \frac{10000}{a^{2}}}$ 라고 하면, 두 점의 좌표는 $N_{1} (\frac{100}{a}, 5 \sqrt{2}, z_{0})$ 와 $N_{2} (\frac{100}{a}, 5 \sqrt{2}, - z_{0})$ 가 됩니다.

step4. 코사인 법칙을 이용하여 a의 값 계산하기

삼각형 $O N_{1} N_{2}$ 를 생각해봅시다.

두 점 $N_{1}, N_{2}$ 는 구 $S$ 위의 점이므로 $\overset{―}{O N_{1}} = \overset{―}{O N_{2}} = 10$ (구의 반지름)입니다.

두 점 사이의 거리는 $z$ 좌표의 차이이므로 $\overset{―}{N_{1} N_{2}} = 2 z_{0}$ 입니다.

문제에서 $\cos (∠ N_{1} O N_{2}) = \frac{3}{5}$ 라고 주어졌으므로, 코사인 법칙을 적용합니다.

${\overset{―}{N_{1} N_{2}}}^{2} = {\overset{―}{O N_{1}}}^{2} + {\overset{―}{O N_{2}}}^{2} - 2 \cdot \overset{―}{O N_{1}} \cdot \overset{―}{O N_{2}} \cdot \cos (∠ N_{1} O N_{2})$

$(2 z_{0})^{2} = 10^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5}$

$4 z_{0}^{2} = 100 + 100 - 120 = 80$

$z_{0}^{2} = 20$

앞서 구한 $z_{0}^{2} = 50 - \frac{10000}{a^{2}}$ 에 대입하면,

$50 - \frac{10000}{a^{2}} = 20$

$\frac{10000}{a^{2}} = 30$

$a^{2} = \frac{10000}{30} = \frac{1000}{3}$

$a > 0$ 이므로 $a = \frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{30}}{3}$ 이 됩니다.

이는 조건 $a > 10 \sqrt{2}$ 를 만족합니다.

step1. 도형 $C_{1}$ 이 포함된 평면의 방정식

$P (x, y, z)$ 에 대해 $O P^{2} + A P^{2} = O A^{2}$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + (x - a)^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$

$x^{2} - a x + y^{2} + z^{2} = 0$

--- $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100$ 이므로

$100 - a x = 0 ⟹ x = \frac{100}{a}$

step2. 도형 $C_{2}$ 가 포함된 평면의 방정식

$Q (x, y, z)$ 에 대해 $O Q^{2} + B Q^{2} = O B^{2}$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + x^{2} + (y - 10 \sqrt{2})^{2} + z^{2} = 200$

$x^{2} + y^{2} - 10 \sqrt{2} y + z^{2} = 0$

--- $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100$ 이므로

$100 - 10 \sqrt{2} y = 0 ⟹ y = 5 \sqrt{2}$

step3. 교점 $N_{1}, N_{2}$ 의 좌표 설정

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100$ 에 대입

$\frac{10000}{a^{2}} + 50 + z^{2} = 100 ⟹ z^{2} = 50 - \frac{10000}{a^{2}}$

$N_{1}, N_{2}$ 의 $z$ 좌표를 $\pm z_{0}$ 라 하면 $N_{1} N_{2} = 2 z_{0}$

step4. $a$ 의 값 계산

$△ O N_{1} N_{2}$ 에서 코사인 법칙 적용

$(2 z_{0})^{2} = 10^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5}$

$4 z_{0}^{2} = 80 ⟹ z_{0}^{2} = 20$

$50 - \frac{10000}{a^{2}} = 20 ⟹ \frac{10000}{a^{2}} = 30$

$a^{2} = \frac{1000}{3} ⟹ a = \frac{10 \sqrt{30}}{3}$

$∴ ①$

🔒 막힌 이유

$∠ APO = \frac{π}{2}$ 라는 조건을 보고 점 P가 어떤 도형을 그리는지 파악하지 못해 막힐 수 있습니다.
두 도형 $C_{1}, C_{2}$ 의 교점 $N_{1}, N_{2}$ 를 구하는 과정에서, 구의 방정식과 평면의 방정식을 어떻게 연립해야 할지 몰라 헤맬 수 있습니다.

🔑 돌파구

공간에서 직각 조건이 주어지면 피타고라스 정리를 이용하여 좌표로 식을 세워보세요. $O P^{2} + A P^{2} = O A^{2}$ 를 계산하면 점 P가 그리는 새로운 구의 방정식을 얻을 수 있습니다.
교점은 두 도형의 방정식을 동시에 만족하는 점입니다. 앞서 구한 $x, y$ 값을 원래 구의 방정식 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100$ 에 대입하여 $z$ 좌표를 구해보세요.
(확장 팁: 공간도형에서 수직 조건은 피타고라스 정리를 통해 대수적인 방정식으로 쉽게 변환할 수 있습니다.)

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 기하 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	기하 · 공간좌표 / 구의 방정식 / 코사인 법칙
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구