(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 기하 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 공간좌표에서 특정 평면과 축 위에 점이 있을 조건을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 중점이 $z x$ 평면 위에 있다는 조건을 이용하여 $b$ 의 값을 구합니다.

step2. 내분점이 $y$ 축 위에 있다는 조건을 이용하여 $a$ 와 $c$ 의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a, b, c$ 의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 좌표공간에서 평면과 축의 방정식 : $z x$ 평면 위의 점은 $y$ 좌표가 0이고, $y$ 축 위의 점은 $x$ 좌표와 $z$ 좌표가 모두 0입니다.

- 선분의 내분점 공식 : 두 점 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 를 $m : n$ 으로 내분하는 점의 좌표는 $(\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n}, \frac{m z_{2} + n z_{1}}{m + n})$ 입니다. 중점은 $1 : 1$ 내분점과 같습니다.

5. 구체적 풀이

공간좌표 문제에서 '어떤 평면 위에 있다'거나 '어떤 축 위에 있다'는 조건이 나오면, 가장 먼저 '어떤 좌표가 0이 되는지'를 떠올려야 해요. 이름에 없는 문자가 0이 된다고 기억하면 쉽습니다.

z x

평면이면

y = 0

y

축이면

x = 0, z = 0

이 되겠죠? 이 성질과 내분점 공식을 결합하면 미지수들을 쉽게 찾아낼 수 있습니다.

step1. 중점이 $z x$ 평면 위에 있을 조건

먼저 두 점 $A (a, b, - 5)$ 와 $B (- 8, 6, c)$ 의 중점을 구해볼게요.

중점의 좌표는 각 좌표의 평균이므로 $(\frac{a - 8}{2}, \frac{b + 6}{2}, \frac{- 5 + c}{2})$ 가 됩니다.

이 중점이 $z x$ 평면 위에 있다고 했으므로, $y$ 좌표는 0이 되어야 합니다.

따라서 $\frac{b + 6}{2} = 0$ 이고, 이를 풀면 $b = - 6$ 이 됩니다.

step2. 내분점이 $y$ 축 위에 있을 조건

다음으로 선분 $A B$ 를 $1 : 2$ 로 내분하는 점을 구해봅시다.

내분점 공식을 쓸 때 비율 $1 : 2$ 에서 $1$ 은 점 $B$ 의 좌표에, $2$ 는 점 $A$ 의 좌표에 엇갈리게 곱해야 한다는 점을 실수하기 쉽습니다.

내분점의 $x$ 좌표: $\frac{1 \cdot (- 8) + 2 \cdot a}{1 + 2} = \frac{2 a - 8}{3}$

내분점의 $z$ 좌표: $\frac{1 \cdot c + 2 \cdot (- 5)}{1 + 2} = \frac{c - 10}{3}$

이 내분점이 $y$ 축 위에 있으므로, $x$ 좌표와 $z$ 좌표가 모두 0이어야 합니다.

$x$ 좌표가 0이려면: $\frac{2 a - 8}{3} = 0 ⟹ 2 a - 8 = 0 ⟹ a = 4$

$z$ 좌표가 0이려면: $\frac{c - 10}{3} = 0 ⟹ c - 10 = 0 ⟹ c = 10$

step3. $a + b + c$ 의 값 계산

이제 구한 $a, b, c$ 의 값을 모두 더해줍니다.

$a = 4$ , $b = - 6$ , $c = 10$ 이므로,

$a + b + c = 4 + (- 6) + 10 = 8$ 입니다.

따라서 정답은 8이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 중점이 $z x$ 평면 위에 있을 조건

중점의 $y$ 좌표 $= \frac{b + 6}{2} = 0$ --- $z x$ 평면 위이므로

$∴ b = - 6$

step2. 내분점이 $y$ 축 위에 있을 조건

내분점의 $x$ 좌표 $= \frac{1 \cdot (- 8) + 2 \cdot a}{3} = 0$ --- $y$ 축 위이므로

$2 a - 8 = 0 ⟹ a = 4$

내분점의 $z$ 좌표 $= \frac{1 \cdot c + 2 \cdot (- 5)}{3} = 0$ --- $y$ 축 위이므로

$c - 10 = 0 ⟹ c = 10$

step3. $a + b + c$ 의 값 계산

$a + b + c = 4 + (- 6) + 10 = 8$

$∴ 8$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$z x$ 평면 위에 있다는 조건이 $y = 0$ 을 의미한다는 것을 잊어버리거나 헷갈릴 수 있습니다.
$y$ 축 위에 있다는 조건이 $x = 0, z = 0$ 을 의미한다는 것을 놓칠 수 있습니다.
내분점 공식을 적용할 때 비율 $1 : 2$ 와 점 $A, B$ 의 순서를 반대로 적용하여 계산 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

좌표공간에서 특정 평면이나 축 위에 있다는 것은 '그 이름에 없는 문자의 좌표가 0'이라는 점을 기억합니다. (예: $z x$ 평면 $\to y = 0$ , $y$ 축 $\to x = 0, z = 0$ )
내분점 공식은 크로스로 곱해진다는 점을 명심하고, $1 : 2$ 내분이면 $1$ 은 $B$ 의 좌표에, $2$ 는 $A$ 의 좌표에 곱해야 함을 주의합니다.
축과 평면의 이름에서 빠진 문자가 0이 된다는 규칙을 외워두면 유용합니다.

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 기하 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	기하 · 공간좌표 / 내분점과 외분점
난이도	중하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구