수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 포물선의 정의 적용

포물선의 초점이 $F(4,0)$이고 준선이 $y$축($x=0$)입니다.

점 $P(x_1,y_1)$에서 준선 $y$축에 내린 수선의 발이 $H(0,y_1)$이므로, $\overline{PH}=x_1$입니다.

포물선의 정의에 의해 포물선 위의 점 $P$에서 초점 $F$까지의 거리와 준선까지의 거리는 같습니다.

즉, $\overline{PF}=\overline{PH}=x_1$이 성립합니다.

두 점 $P(x_1,y_1)$과 $F(4,0)$ 사이의 거리 공식을 쓰면 ${\overline{PF}}^2=(x_1-4{)}^2+y_1^2$입니다.

따라서 $x_1^2=(x_1-4{)}^2+y_1^2$이 되고, 이를 정리하면 $y_1^2=8x_1-16$이라는 첫 번째 관계식을 얻을 수 있어요.

step2. 길이의 비를 이용해 점 $P$ 좌표 구하기

문제에서 $\overline{PH}:\overline{HF}=3:2\sqrt{2}$라고 주어졌습니다.

$H(0,y_1)$과 $F(4,0)$ 사이의 거리는 $\overline{HF}=\sqrt{4^2+y_1^2}=\sqrt{16+y_1^2}$입니다.

비례식을 풀면 $3\overline{HF}=2\sqrt{2}\overline{PH}$이므로, $3\sqrt{16+y_1^2}=2\sqrt{2}{x}_1$이 됩니다.

양변을 제곱하면 $9(16+y_1^2)=8x_1^2$입니다.

여기에 step1에서 구한 $y_1^2=8x_1-16$을 대입해볼까요?

$9(16+8x_1-16)=8x_1^2$

$72x_1=8x_1^2$

점 $P$는 제1사분면 위의 점이므로 $x_1>0$입니다. 따라서 양변을 $8x_1$로 나눌 수 있어요.

$x_1=9$가 됩니다.

$x_1=9$를 다시 대입하면 $y_1^2=8\times 9-16=56$이므로, 점 $P$의 좌표는 $(9,\sqrt{56})$임을 알 수 있습니다.

step3. 쌍곡선의 정의 적용 및 정답 도출

이제 점 $P$가 쌍곡선 위의 점이라는 사실을 이용할 차례입니다.

쌍곡선의 두 초점이 $F(4,0)$, $F^{\prime }(-4,0)$이므로 중심이 원점이고 초점거리가 $c=4$입니다.

따라서 $a^2+b^2=4^2=16$입니다.

쌍곡선의 정의에 의해 주축의 길이 $2a=\overline{P{F}^{\prime }}-\overline{PF}$입니다.

$\overline{PF}=x_1=9$입니다.

$\overline{P{F}^{\prime }}=\sqrt{(9-(-4){)}^2+(\sqrt{56}-0{)}^2}=\sqrt{{13}^2+56}=\sqrt{169+56}=\sqrt{225}=15$입니다.

따라서 $2a=15-9=6$이므로 $a=3$이고, $a^2=9$가 됩니다.

$a^2+b^2=16$에 대입하면 $9+b^2=16$에서 $b^2=7$입니다.

최종적으로 $a^2\times b^2=9\times 7=63$입니다.

step1. 포물선의 정의 적용

$P(x_1,y_1)$이라 하면 $H(0,y_1)$

$\overline{PF}=\overline{PH}=x_1$   --- 포물선의 정의에 의해

${\overline{PF}}^2=(x_1-4{)}^2+y_1^2=x_1^2$

$\therefore y_1^2=8x_1-16$

step2. 길이의 비를 이용해 점 $P$ 좌표 구하기

$\overline{HF}=\sqrt{4^2+y_1^2}=\sqrt{16+y_1^2}$

$\overline{PH}:\overline{HF}=x_1:\sqrt{16+y_1^2}=3:2\sqrt{2}$

$3\sqrt{16+y_1^2}=2\sqrt{2}{x}_1$

$9(16+y_1^2)=8x_1^2$   --- 양변 제곱

$9(16+8x_1-16)=8x_1^2$   --- $y_1^2=8x_1-16$ 대입

$72x_1=8x_1^2$

$x_1=9$   --- $\because x_1>0$

$y_1^2=8(9)-16=56$

step3. 쌍곡선의 정의 적용 및 정답 도출

$\overline{PF}=9$

$\overline{P{F}^{\prime }}=\sqrt{(9-(-4){)}^2+56}=\sqrt{169+56}=15$

$2a=\overline{P{F}^{\prime }}-\overline{PF}=15-9=6$   --- 쌍곡선의 정의에 의해

$a=3⟹a^2=9$

$a^2+b^2=4^2=16⟹b^2=7$

$\therefore a^2\times b^2=9\times 7=63$