수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 모서리 AE의 길이 구하기

점 A에서 밑면 EFGH에 내린 수선의 발을 $A^{\prime }$라고 합시다.

윗면 ABCD와 밑면 EFGH는 모두 정사각형이고 중심이 일치하므로, $A^{\prime }$는 선분 중심에서 E를 향하는 대각선 위에 위치합니다.

밑면의 중심을 원점 $O(0,0)$으로 하는 좌표평면을 생각해보면, $E$의 좌표는 $(3,-3)$, $A^{\prime }$의 좌표는 $(2,-2)$로 볼 수 있어요.

따라서 선분 $A^{\prime }E$의 길이는 $\sqrt{(3-2{)}^2+(-3-(-2){)}^2}=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$가 됩니다.

직각삼각형 $A{A}^{\prime }E$에서 피타고라스 정리를 적용하면, $\overline{AE}=\sqrt{{\overline{A^{\prime }E}}^2+{\overline{A{A}^{\prime }}}^2}=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{14}{)}^2}=\sqrt{16}=4$가 됩니다.

step2. 사각형 AEHD의 넓이 구하기

사각형 AEHD는 $\overline{AD}\parallel \overline{EH}$인 등변사다리꼴입니다.

$\overline{AD}=4$, $\overline{EH}=6$이고, 방금 구한 대로 $\overline{AE}=\overline{DH}=4$입니다.

점 A와 D에서 선분 EH에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라고 하면, $\overline{PQ}=\overline{AD}=4$가 됩니다.

$\overline{EP}=\overline{QH}=\frac{6-4}{2}=1$입니다.

직각삼각형 APE에서 피타고라스 정리를 쓰면, 사다리꼴의 높이 $\overline{AP}=\sqrt{{\overline{AE}}^2-{\overline{EP}}^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$가 됩니다.

따라서 사각형 AEHD의 넓이 $S=\frac{1}{2}\times (4+6)\times \sqrt{15}=5\sqrt{15}$입니다.

step3. 두 평면 AEHD와 BFGC가 이루는 이면각 구하기

두 평면이 이루는 각을 구하기 위해, 사각뿔대를 AD와 BC의 중점, EH와 FG의 중점을 지나는 평면으로 잘라 단면을 만듭니다.

이 단면은 윗변이 4, 아랫변이 6, 높이가 $\sqrt{14}$인 등변사다리꼴이 됩니다.

단면에서 평면 AEHD는 선분 $M_1{M}_2$로, 평면 BFGC는 선분 $N_1{N}_2$로 나타납니다. ($M_1,N_1$은 윗변의 양 끝점, $M_2,N_2$는 아랫변의 양 끝점)

두 선분 $M_1{M}_2$와 $N_1{N}_2$를 위로 연장하여 만나는 교점을 $V$라고 합시다.

삼각형 $V{M}_2{N}_2$는 이등변삼각형이 됩니다.

$M_1$에서 $M_2{N}_2$에 내린 수선의 발을 $H_1$이라 하면, $\overline{M_2{H}_1}=\frac{6-4}{2}=1$이고, 높이 $\overline{M_1{H}_1}=\sqrt{14}$입니다.

따라서 $\overline{M_1{M}_2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{14}{)}^2}=\sqrt{15}$입니다.

삼각형 $V{M}_1{N}_1$과 $V{M}_2{N}_2$는 닮음비가 $4:6=2:3$인 닮은 도형입니다.

$\overline{V{M}_2}:\overline{M_1{M}_2}=3:1$이므로, $\overline{V{M}_2}=3\sqrt{15}$가 됩니다.

이제 이등변삼각형 $V{M}_2{N}_2$에서 세 변의 길이는 $3\sqrt{15},3\sqrt{15},6$입니다.

이면각 $\theta$는 바로 이 삼각형의 꼭지각 $\angle M_{2}V{N}_2$와 같습니다. 교선이 평행할 때 단면에서의 각이 이면각이 됨을 놓치기 쉽습니다.

코사인 법칙을 적용하면:

$6^2=(3\sqrt{15}{)}^2+(3\sqrt{15}{)}^2-2(3\sqrt{15})(3\sqrt{15})\cos \theta$

$36=135+135-270\cos \theta$

$270\cos \theta =234$

$\cos \theta =\frac{234}{270}=\frac{13}{15}$

step4. 정사영의 넓이 계산하기

정사영의 넓이 $S^{\prime }$는 $S^{\prime }=S\cos \theta$입니다.

$S^{\prime }=5\sqrt{15}\times \frac{13}{15}=\frac{13}{3}\sqrt{15}$

따라서 정답은 4번입니다.

step1. 모서리 AE의 길이

A에서 밑면 EFGH에 내린 수선의 발을 $A^{\prime }$라 하면

$\overline{A^{\prime }E}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\overline{AE}=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{14}{)}^2}=4$

step2. 사각형 AEHD의 넓이

등변사다리꼴 AEHD에서 높이 $h=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$

$S=\frac{1}{2}(4+6)\sqrt{15}=5\sqrt{15}$

step3. 이면각 $\theta$ 구하기

--- 사각뿔대를 정면에서 자른 단면(등변사다리꼴)을 생각

단면의 빗변 길이는 $\sqrt{1^2+(\sqrt{14}{)}^2}=\sqrt{15}$

두 빗변을 연장하여 만든 이등변삼각형의 꼭지각이 $\theta$

닮음비 $4:6=2:3$에 의해 연장된 빗변의 길이는 $3\sqrt{15}$

--- 코사인 법칙 적용

$6^2=(3\sqrt{15}{)}^2+(3\sqrt{15}{)}^2-2(3\sqrt{15}{)}^2\cos \theta$

$36=270-270\cos \theta ⟹\cos \theta =\frac{13}{15}$

step4. 정사영의 넓이

$S^{\prime }=S\cos \theta =5\sqrt{15}\times \frac{13}{15}=\frac{13}{3}\sqrt{15}$

$\therefore ④$