(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 기하 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]

30. 좌표평면 위에 다섯 점

A (0, 8), B (8, 0), C (7, 1), D (7, 0), E (- 4, 2)

가 있다. 삼각형

A O B

의 변 위를 움직이는 점

P

와 삼각형

C D B

의 변 위를 움직이는 점

Q

에 대하여

| \vec{P Q} + \vec{O E} |^{2}

의 최댓값을

M

, 최솟값을

m

이라 할 때,

M + m

의 값을 구하시오. (단,

O

는 원점이다.) [4점]

이 문제는 벡터의 연산을 위치벡터로 변환하여 도형의 평행이동을 파악하고, 두 다각형 위의 점 사이의 거리의 최대·최소를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

A (0, 8), B (8, 0), C (7, 1), D (7, 0), E (- 4, 2), O (0, 0)

- 점

P

는 삼각형

A O B

의 변 위를 움직임
- 점

Q

는 삼각형

C D B

의 변 위를 움직임
-

M

은

| \vec{P Q} + \vec{O E} |^{2}

의 최댓값
-

m

은

| \vec{P Q} + \vec{O E} |^{2}

의 최솟값

이 문제는 벡터의 연산을 위치벡터로 변환하여 두 점 사이의 거리 문제로 해석하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 주어진 벡터 식을 위치벡터로 변환하여 기하학적 의미를 파악합니다.

step2. 점 $P$ 를 평행이동한 점 $P^{'}$ 가 그리는 도형 $T_{1}$ 을 좌표평면에 나타냅니다.

step3. 점 $Q$ 가 그리는 도형 $T_{2}$ 를 좌표평면에 나타내고 두 도형의 위치 관계를 파악합니다.

step4. 두 도형 $T_{1}, T_{2}$ 위의 점 사이의 거리의 최댓값 $M$ 을 구합니다.

step5. 두 도형 $T_{1}, T_{2}$ 위의 점 사이의 거리의 최솟값 $m$ 을 구하여 $M + m$ 을 계산합니다.

- 위치벡터 : 평면 위의 점 $A, B$ 에 대하여 $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ 로 나타낼 수 있습니다.

- 평행한 두 직선 사이의 거리 : 직선 $a x + b y + c = 0$ 과 $a x + b y + c^{'} = 0$ 사이의 거리는 $\frac{| c - c^{'} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ 입니다.

벡터

\vec{P Q}

에 고정된 벡터

\vec{O E}

가 더해져 있어서 복잡해 보입니다. 이럴 때는 모든 벡터를 시점이 원점

O

인 위치벡터로 쪼개보는 것이 좋습니다.

\vec{P Q} = \vec{O Q} - \vec{O P}

로 바꾸면, 주어진 식은 점

Q

의 위치벡터에서 어떤 새로운 점의 위치벡터를 빼는 형태가 되어 '두 점 사이의 거리'로 간단히 해석할 수 있습니다.

step1. 벡터 식 변형하기

$| \vec{P Q} + \vec{O E} |^{2}$ 을 위치벡터로 표현해 봅시다.

$\vec{P Q} = \vec{O Q} - \vec{O P}$ 이므로,

$\vec{P Q} + \vec{O E} = \vec{O Q} - \vec{O P} + \vec{O E} = \vec{O Q} - (\vec{O P} - \vec{O E})$ 가 됩니다.

여기서 $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} - \vec{O E}$ 를 만족하는 새로운 점 $P^{'}$ 를 생각해 봅시다.

그러면 주어진 식은 $| \vec{O Q} - \vec{O P^{'}} |^{2} = | \vec{P^{'} Q} |^{2}$ 이 되어, 점 $P^{'}$ 와 점 $Q$ 사이의 거리의 제곱을 의미하게 됩니다.

step2. 점 $P^{'}$ 가 그리는 도형 $T_{1}$ 파악하기

$\vec{O P^{'}} = \vec{O P} - \vec{O E}$ 에서 $\vec{O E} = (- 4, 2)$ 이므로,

$\vec{O P^{'}} = \vec{O P} - (- 4, 2) = \vec{O P} + (4, - 2)$ 입니다.

즉, 점 $P^{'}$ 는 점 $P$ 를 $x$ 축 방향으로 $4$ , $y$ 축 방향으로 $- 2$ 만큼 평행이동한 점입니다.

점 $P$ 는 삼각형 $A O B$ 의 변 위를 움직이므로, 삼각형 $A O B$ 의 세 꼭짓점 $O (0, 0), B (8, 0), A (0, 8)$ 을 각각 평행이동해 봅니다.

$O (0, 0) \to O^{'} (4, - 2)$

$B (8, 0) \to B^{'} (12, - 2)$

$A (0, 8) \to A^{'} (4, 6)$

따라서 점 $P^{'}$ 가 그리는 도형 $T_{1}$ 은 세 점 $O^{'}, B^{'}, A^{'}$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 내부가 아닌 '경계(변)'입니다.

step3. 점 $Q$ 가 그리는 도형 $T_{2}$ 파악하기

점 $Q$ 는 삼각형 $C D B$ 의 변 위를 움직입니다.

삼각형 $C D B$ 의 세 꼭짓점은 $C (7, 1), D (7, 0), B (8, 0)$ 입니다.

점 $Q$ 가 그리는 도형 $T_{2}$ 는 이 삼각형의 경계입니다.

좌표평면에 $T_{1}$ 과 $T_{2}$ 를 그려보면, $T_{2}$ 는 $T_{1}$ 이 이루는 커다란 직각이등변삼각형의 안쪽에 위치하고 있음을 알 수 있습니다.

step4. 최댓값 $M$ 구하기

두 다각형의 경계 위의 점들 사이의 거리가 최대가 되는 경우는 각 다각형의 꼭짓점끼리 연결했을 때 발생합니다.

$T_{1}$ 의 꼭짓점: $O^{'} (4, - 2), B^{'} (12, - 2), A^{'} (4, 6)$

$T_{2}$ 의 꼭짓점: $C (7, 1), D (7, 0), B (8, 0)$

가장 멀리 떨어져 보이는 점들의 거리의 제곱을 계산해 봅니다.

- $A^{'} (4, 6)$ 과 $B (8, 0)$ 사이의 거리의 제곱: $(8 - 4)^{2} + (0 - 6)^{2} = 16 + 36 = 52$

- $A^{'} (4, 6)$ 과 $D (7, 0)$ 사이의 거리의 제곱: $(7 - 4)^{2} + (0 - 6)^{2} = 9 + 36 = 45$

- $B^{'} (12, - 2)$ 와 $C (7, 1)$ 사이의 거리의 제곱: $(7 - 12)^{2} + (1 - (- 2))^{2} = 25 + 9 = 34$

계산 결과, 최댓값은 $A^{'}$ 와 $B$ 사이의 거리의 제곱인 $52$ 입니다.

따라서 $M = 52$ 입니다.

step5. 최솟값 $m$ 구하기

두 도형 사이의 거리가 최소가 되는 곳을 찾아야 합니다.

$T_{1}$ 의 빗변 $A^{'} B^{'}$ 의 방정식은 기울기가 $- 1$ 이고 $(4, 6)$ 을 지나므로 $y - 6 = - (x - 4)$ , 즉 $x + y = 10$ 입니다.

$T_{2}$ 의 빗변 $C B$ 의 방정식은 기울기가 $- 1$ 이고 $(8, 0)$ 을 지나므로 $y - 0 = - (x - 8)$ , 즉 $x + y = 8$ 입니다.

두 빗변은 서로 평행합니다. $T_{2}$ 가 $T_{1}$ 안쪽에 있으므로, 이 두 평행한 선분 사이의 거리가 전체 도형 사이의 최단 거리가 됩니다.

두 평행한 직선 $x + y - 10 = 0$ 과 $x + y - 8 = 0$ 사이의 거리는

$\frac{| - 10 - (- 8) |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ 입니다.

이때 수선의 발이 선분 위에 존재하는지 확인해보면, $T_{2}$ 의 빗변의 $x$ 범위는 $[7, 8]$ 이고 $T_{1}$ 의 빗변의 $x$ 범위는 $[4, 12]$ 이므로 충분히 포함됩니다.

따라서 거리의 최솟값은 $\sqrt{2}$ 이고, 거리의 제곱의 최솟값 $m = (\sqrt{2})^{2} = 2$ 입니다.

최종적으로 $M + m = 52 + 2 = 54$ 입니다.

step1. 벡터 식 변형

$| \vec{P Q} + \vec{O E} |^{2} = | \vec{O Q} - \vec{O P} + \vec{O E} |^{2} = | \vec{O Q} - (\vec{O P} - \vec{O E}) |^{2}$

$\vec{O P^{'}} = \vec{O P} - \vec{O E}$ 라 하면, 구하는 값은 $| \vec{P^{'} Q} |^{2}$

step2. 점 $P^{'}$ 의 자취 $T_{1}$

$\vec{O P^{'}} = \vec{O P} - (- 4, 2) = \vec{O P} + (4, - 2)$

--- $P$ 는 $△ A O B$ 의 경계 위 점이므로, $P^{'}$ 는 이를 $x$ 축으로 $4$ , $y$ 축으로 $- 2$ 만큼 평행이동한 도형 $T_{1}$ 위의 점.

$T_{1}$ 의 꼭짓점: $O^{'} (4, - 2), B^{'} (12, - 2), A^{'} (4, 6)$

step3. 점 $Q$ 의 자취 $T_{2}$

--- $Q$ 는 $△ C D B$ 의 경계 위 점이므로, 자취 $T_{2}$ 의 꼭짓점은 $C (7, 1), D (7, 0), B (8, 0)$

step4. 최댓값 $M$

--- 최댓값은 두 도형의 꼭짓점 사이의 거리 중 하나.

$| A^{'} B |^{2} = (8 - 4)^{2} + (0 - 6)^{2} = 16 + 36 = 52$

--- 다른 꼭짓점 쌍의 거리 제곱을 비교해보면 $52$ 가 최대.

$∴ M = 52$

step5. 최솟값 $m$

$T_{1}$ 의 빗변 $A^{'} B^{'}$ 의 방정식: $x + y = 10$ $(4 \leq x \leq 12)$

$T_{2}$ 의 빗변 $C B$ 의 방정식: $x + y = 8$ $(7 \leq x \leq 8)$

--- $T_{2}$ 가 $T_{1}$ 내부에 위치하므로, 최단 거리는 두 평행한 빗변 사이의 거리.

$d = \frac{| 10 - 8 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{2}$

$∴ m = d^{2} = 2$

$∴ M + m = 52 + 2 = 54$

🔒 막힌 이유

벡터 식 $| \vec{P Q} + \vec{O E} |^{2}$ 을 보고 어떻게 접근해야 할지 막막할 수 있습니다.
점 $P$ 와 $Q$ 가 각각 다른 삼각형 위를 움직이기 때문에 변수가 두 개여서 최댓값과 최솟값을 구하는 상황을 시각화하기 어렵습니다.

🔑 돌파구

벡터의 뺄셈을 이용하여 $\vec{P Q} = \vec{O Q} - \vec{O P}$ 로 분해한 뒤, $\vec{O Q} - (\vec{O P} - \vec{O E})$ 형태로 묶어보세요.
$\vec{O P} - \vec{O E}$ 를 새로운 위치벡터 $\vec{O P^{'}}$ 로 생각하면, 점 $P$ 가 평행이동한 새로운 도형과 점 $Q$ 가 그리는 도형 사이의 거리 문제로 바뀝니다.
두 도형을 좌표평면에 직접 그려보면, 최댓값은 꼭짓점 사이에서, 최솟값은 평행한 두 변 사이에서 나옴을 쉽게 파악할 수 있습니다.

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 기하 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	기하 · 평면벡터 / 위치벡터 / 도형의 평행이동 / 최대최소
난이도	상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구