수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 전체 경우의 수와 두 사건 정의하기

주사위를 두 번 던지므로 눈의 수의 순서쌍 $(a,b)$ 는 $6\times 6=36$ 가지이고, 각 경우가 나올 가능성은 모두 같습니다.

구하는 확률의 사건을 둘로 나눕니다.

$A$ : $a$ 가 $3$ 이하인 사건

$B$ : $a\times b$ 가 $8$ 의 배수인 사건

문제가 묻는 것은 '$A$ 이거나 $B$'이므로 $P(A\cup B)$ 를 구하면 됩니다.

step2. 각 사건의 경우의 수 세기

위 그림에서 파란 테두리로 묶인 왼쪽 세 열이 사건 A, 빨간 점이 찍힌 다섯 칸이 사건 B 입니다.

사건 $A$ 는 $a$ 가 $1$, $2$, $3$ 중 하나이고 $b$ 에는 아무 제한이 없으므로 $3\times 6=18$ 가지입니다. 따라서 $P(A)={\displaystyle \frac{18}{36}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ 입니다.

사건 $B$ 는 조금 더 신중해야 합니다. 두 눈의 곱은 $1$ 이상 $36$ 이하이므로 $8$ 의 배수가 될 수 있는 값은 $8$, $16$, $24$, $32$ 네 개뿐이에요. 이 값들을 하나씩 확인합니다.

$ab=8$ 인 경우: $(2,4)$, $(4,2)$ — $1\times 8$ 이나 $8\times 1$ 은 눈의 수가 $6$ 을 넘어 불가능합니다.

$ab=16$ 인 경우: $(4,4)$

$ab=24$ 인 경우: $(4,6)$, $(6,4)$

$ab=32$ 인 경우: 없음

모두 $5$ 가지이므로 $P(B)={\displaystyle \frac{5}{36}}$ 입니다.

곱이 특정 수의 배수가 되는 경우를 셀 때는 '두 눈을 하나씩 대입'하기보다 '곱의 값이 될 수 있는 후보'부터 나열하는 편이 훨씬 빠르고 안전합니다. 곱의 최댓값이 $36$ 이라는 상한이 후보를 네 개로 줄여 주니까요.

step3. 겹치는 경우를 빼고 덧셈정리 적용하기

위 그림에서 초록 원으로 표시한 한 칸이 두 사건에 모두 속하는 경우예요.

두 사건이 동시에 일어나는 경우, 즉 $A\cap B$ 를 찾습니다. step2에서 구한 $B$ 의 다섯 경우 $(2,4)$, $(4,2)$, $(4,4)$, $(4,6)$, $(6,4)$ 중에서 $a\le 3$ 인 것은 $(2,4)$ 하나뿐입니다. 따라서 $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{36}}$ 입니다.

$A$ 와 $B$ 는 배반사건이 아닙니다. $(2,4)$ 처럼 두 조건을 동시에 만족하는 경우가 있으므로 $P(A)+P(B)$ 만 계산하면 이 경우를 두 번 세어 ${\displaystyle \frac{23}{36}}$ 이라는 틀린 값이 나옵니다.

확률의 덧셈정리에 대입하면

$P(A\cup B)={\displaystyle \frac{18}{36}}+{\displaystyle \frac{5}{36}}-{\displaystyle \frac{1}{36}}={\displaystyle \frac{22}{36}}={\displaystyle \frac{11}{18}}$

입니다.

따라서 정답은 ②입니다.

step1. 전체

$6\times 6=36$

step2. 각 사건

$n(A)=3\times 6=18$

$ab=8:(2,4),(4,2)$ / $ab=16:(4,4)$ / $ab=24:(4,6),(6,4)$   --- 곱은 최대 $36$ 이므로 후보는 $8,16,24,32$

$n(B)=5$

step3. 덧셈정리

$n(A\cap B)=1$   --- $(2,4)$ 만 $a\le 3$

$P={\displaystyle \frac{18+5-1}{36}}={\displaystyle \frac{22}{36}}={\displaystyle \frac{11}{18}}$

$\therefore ②$