수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 주어진 확률의 구간을 표준화하기

위 그림의 파란 띠가 그 구간인데, 왼쪽으로 얼마를 미끄러지든 폭은 그대로입니다.

$X$ 는 평균이 $1$, 표준편차가 $\sigma$ 인 정규분포를 따르므로 $Z={\displaystyle \frac{X-1}{\sigma }}$ 로 두면 $Z$ 는 표준정규분포를 따릅니다.

구간의 양 끝을 각각 표준화하면

$X={\displaystyle \frac{3}{2}}\sigma$ 일 때 $Z={\displaystyle \frac{\frac{3}{2}\sigma -1}{\sigma }}={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{\sigma }}$,

$X=2\sigma$ 일 때 $Z={\displaystyle \frac{2\sigma -1}{\sigma }}=2-{\displaystyle \frac{1}{\sigma }}$

입니다. 여기서 $t={\displaystyle \frac{1}{\sigma }}$ 로 두면 $\sigma >0$ 이므로 $t>0$ 이고, 주어진 조건은

$P({\displaystyle \frac{3}{2}}-t\le Z\le 2-t)=0.044$

가 됩니다.

두 경계의 차를 보면 $(2-t)-({\displaystyle \frac{3}{2}}-t)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ 로, $t$ 가 무엇이든 구간의 폭은 항상 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 입니다. 즉 이 구간은 '폭 $0.5$ 짜리 창'이 수직선 위를 $t$ 만큼 왼쪽으로 미끄러진 것이고, 우리가 찾을 것은 그 창의 위치뿐이에요.

${\displaystyle \frac{3}{2}}\sigma$ 와 $2\sigma$ 에 $\sigma$ 가 곱해져 있다고 해서 표준화 후 ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ 와 $2$ 만 남는 것이 아닙니다. 평균이 $0$ 이 아닌 $1$ 이므로 빼는 과정에서 ${\displaystyle \frac{1}{\sigma }}$ 가 반드시 남습니다.

step2. 표와 대칭성으로 구간의 위치를 찾아 $\sigma$ 구하기

위 그림에서 회색 띠와 붉은 띠가 확률이 같은 두 후보이고, 붉은 쪽이 조건에 맞는 자리예요.

표에 실린 $z$ 값은 $0.5$ 간격이므로, 폭이 $0.5$ 인 구간의 확률은 표의 이웃한 두 값의 차로 계산됩니다.

$P(0.5\le Z\le 1.0)=0.3413-0.1915=0.1498$

$P(1.0\le Z\le 1.5)=0.4332-0.3413=0.0919$

$P(1.5\le Z\le 2.0)=0.4772-0.4332=0.0440$

$P(2.0\le Z\le 2.5)=0.4938-0.4772=0.0166$

확률이 $0.044$ 인 것은 구간 $[1.5,2.0]$ 입니다. 그런데 $t>0$ 이면 ${\displaystyle \frac{3}{2}}-t<{\displaystyle \frac{3}{2}}$ 이므로 구간의 왼쪽 끝이 $1.5$ 가 될 수는 없습니다.

여기서 표준정규분포가 $z=0$ 에 대하여 대칭이라는 성질을 씁니다. $P(1.5\le Z\le 2)=P(-2\le Z\le -1.5)$ 이므로 구간 $[-2,-1.5]$ 의 확률도 $0.044$ 입니다. 이쪽이라면

${\displaystyle \frac{3}{2}}-t=-2$, $2-t=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

이고 두 식 모두에서 $t={\displaystyle \frac{7}{2}}$ 로 일치합니다. 따라서

$\sigma ={\displaystyle \frac{1}{t}}={\displaystyle \frac{2}{7}}$

입니다.

step3. $P(X\ge {\displaystyle \frac{10}{7}})$ 계산하기

위 그림의 파란 영역이 구하는 확률입니다.

$\sigma ={\displaystyle \frac{2}{7}}$ 이므로 $X={\displaystyle \frac{10}{7}}$ 을 표준화하면

${\displaystyle \frac{\frac{10}{7}-1}{\frac{2}{7}}}={\displaystyle \frac{\frac{3}{7}}{\frac{2}{7}}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

입니다. 표에 실린 $z=1.5$ 와 정확히 맞아떨어지죠. 따라서

$P(X\ge {\displaystyle \frac{10}{7}})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{3}{2}})$

이고, 오른쪽 꼬리의 확률은 전체 오른쪽 절반에서 $0$ 부터 $1.5$ 까지를 빼면 되므로

$P(Z\ge 1.5)=0.5-P(0\le Z\le 1.5)=0.5-0.4332=0.0668$

입니다.

따라서 정답은 ③입니다.

step1. 표준화

$t={\displaystyle \frac{1}{\sigma }}>0$

$P({\displaystyle \frac{3}{2}}-t\le Z\le 2-t)=0.044$   --- 구간 폭은 항상 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

step2. 위치 결정

$0.4772-0.4332=0.044\Rightarrow P(1.5\le Z\le 2)=0.044$

$t>0$ 이므로 대칭인 $[-2,-1.5]$   --- 표준정규분포는 $z=0$ 에 대칭

${\displaystyle \frac{3}{2}}-t=-2\Rightarrow t={\displaystyle \frac{7}{2}},\sigma ={\displaystyle \frac{2}{7}}$

step3. 목표 확률

${\displaystyle \frac{\frac{10}{7}-1}{\frac{2}{7}}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

$P(Z\ge 1.5)=0.5-0.4332=0.0668$

$\therefore ③$