수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 숫자를 종류별 개수로 정리하기

주어진 다섯 개의 숫자는 $1$, $2$, $3$, $3$, $3$ 입니다. 종류별로 세어 보면 $1$ 이 한 개, $2$ 가 한 개, $3$ 이 세 개예요.

나열 문제에서 가장 먼저 할 일은 '같은 것이 몇 개씩 있는지'를 적어 두는 것입니다. 여기서 개수가 $2$ 이상인 것은 $3$ 하나뿐이므로, 보정해야 할 중복도 $3$ 세 개에 대한 것 하나뿐이에요.

step2. 같은 것이 있는 순열 공식 적용하기

서로 다른 다섯 개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $5!=120$ 입니다. 그런데 세 개의 $3$ 은 서로 구별되지 않으므로, 이 세 개끼리 자리를 바꾼 $3!=6$ 가지는 모두 같은 나열로 보입니다. 즉 $120$ 은 실제 나열 하나를 $6$ 번씩 센 값이에요.

따라서 구하는 경우의 수는

${\displaystyle \frac{5!}{3!}}={\displaystyle \frac{120}{6}}=20$

입니다.

$1$ 과 $2$ 도 하나씩 있으니 분모에 넣어야 한다고 생각해 ${\displaystyle \frac{5!}{3!2!}}$ 로 계산하기 쉬운데, $1!=1$ 이라 값에는 영향이 없을 뿐 아니라 애초에 $1$ 과 $2$ 는 서로 다른 숫자라 묶을 수 없습니다. 분모에는 '같은 것끼리의 개수의 계승'만 들어갑니다.

실제로 다섯 자리 중 $1$ 이 놓일 자리를 고르는 방법이 $5$ 가지, 남은 네 자리 중 $2$ 가 놓일 자리를 고르는 방법이 $4$ 가지이고 나머지 세 자리는 저절로 $3$ 으로 채워지므로 $5\times 4=20$ 으로 같은 값이 나옵니다.

따라서 정답은 ①입니다.

step1. 종류별 개수

$1$: 1개, $2$: 1개, $3$: 3개   --- 같은 것은 $3$ 세 개

step2. 같은 것이 있는 순열

${\displaystyle \frac{5!}{3!}}={\displaystyle \frac{120}{6}}=20$

$5\times 4=20$   --- 자리 고르기로 검산

$\therefore ①$