수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $d$ 의 범위와 $c<d^2$ 의 작동 구간 찾기

위 수직선에서 빨강은 통째로 제외되는 d, 주황은 조건이 실제로 걸리는 d 입니다.

$a$, $b$, $c$ 가 모두 자연수이므로 $a+b+c\ge 3$ 이고, $a+b+c+d=14$ 에서 $d\le 11$ 입니다.

먼저 $d=1$ 을 봅니다. 이때 조건은 $c<1^2=1$ 인데 $c$ 는 자연수이므로 이를 만족하는 $c$ 가 없습니다.

$d=1$ 인 해는 ${}_{12}{C}_2=66$ 개나 되는데 전부 탈락합니다. $c<d^2$ 를 형식적으로만 보고 넘어가면 이 $66$ 개를 그대로 남겨 두게 되니 반드시 확인하세요.

$d\ge 2$ 일 때 $c$ 가 가질 수 있는 최댓값은 $a=b=1$ 인 경우의 $c=12-d$ 입니다. 그러므로 $12-d<d^2$ 이면 조건 $c<d^2$ 는 저절로 성립합니다. 이 부등식은 $d^2+d-12>0$, 즉 $(d+4)(d-3)>0$ 이므로 $d>3$ 에서 참입니다.

따라서 $c<d^2$ 가 실제로 해를 걸러내는 것은 $d=2$ 와 $d=3$ 두 경우뿐입니다. $d\ge 4$ 에서는 이 조건을 아예 신경 쓰지 않아도 됩니다.

$d=2$ 이면 $c<4$, 즉 $c\le 3$ 이어야 하고, $d=3$ 이면 $c<9$, 즉 $c\le 8$ 이어야 합니다.

step2. $10a\ge d$ 의 작동 구간 찾기

위 그림에서 점선 화살표가 가리키는 d = 11 이 그 하나뿐인 경우예요.

$a$ 는 자연수이므로 $a\ge 1$ 이고 $10a\ge 10$ 입니다. 한편 step1에서 $d\le 11$ 임을 확인했으므로, $d\le 10$ 이면 $10a\ge 10\ge d$ 가 항상 성립합니다.

남는 것은 $d=11$ 뿐입니다. 이때 $a+b+c=3$ 이므로 $a=b=c=1$ 이 유일하고, $10a=10<11=d$ 가 되어 조건 (나)에 위배됩니다.

즉 $10a\ge d$ 가 걸러내는 것은 순서쌍 $(1,1,1,11)$ 하나뿐입니다.

step3. $d$ 별로 세고 예외 빼기

위 표가 d 별 개수와 빼낼 예외를 한눈에 정리한 것입니다.

$d=1$ 은 통째로 제외되므로 $d$ 는 $2$ 부터 $11$ 까지입니다. 각 $d$ 에 대해 $a+b+c=14-d$ 의 자연수해의 개수는 ${}_{13-d}{C}_2$ 이므로 이를 모두 더하면

${}_{11}{C}_2+{}_{10}{C}_2+\cdots +{}_2{C}_2=55+45+36+28+21+15+10+6+3+1=220$

입니다. 여기서 조건 (나)에 걸리는 것을 뺍니다.

먼저 $d=2$ 이면서 $c\ge 4$ 인 경우입니다. $a+b+c=12$ 이고 $a$, $b\ge 1$ 이므로 $c$ 는 $4$ 부터 $10$ 까지 가능하며, 각 $c$ 에 대해 $a+b=12-c$ 의 자연수해가 $11-c$ 개입니다. 따라서 $7+6+5+4+3+2+1=28$ 개입니다.

다음으로 $d=3$ 이면서 $c\ge 9$ 인 경우입니다. $a+b+c=11$ 에서 $c$ 의 최댓값이 $9$ 이므로 $c=9$ 뿐이고 이때 $a=b=1$ 이므로 $1$ 개입니다.

마지막으로 step2에서 확인한 $d=11$ 인 경우 $1$ 개를 뺍니다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는

$220-28-1-1=190$

입니다.

따라서 정답은 $190$ 입니다.

step1. $c<d^2$ 의 작동 구간

$d\le 11$

$d=1\Rightarrow c<1$ 불가 → 전량 제외

$c\le 12-d$, $12-d<d^2\iff d>3$   --- $d\ge 4$ 에서는 자동 성립

step2. $10a\ge d$ 의 작동 구간

$10a\ge 10$ 이므로 $d=11$ 만 위배 → $(1,1,1,11)$

step3. 계수

${\sum }_{d=2}^{11}{}_{13-d}{C}_2=55+45+36+28+21+15+10+6+3+1=220$

$d=2,c\ge 4$ : $7+6+5+4+3+2+1=28$

$d=3,c=9$ : $1$

$d=11$ : $1$

$220-28-1-1=190$

∴ $190$