수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 한 번의 시행에서 얻는 수의 평균과 분산

위 표가 한 번의 시행에서 얻는 수의 확률분포입니다.

주머니에는 $0$, $1$, $2$ 가 하나씩 적힌 공이 들어 있고 임의로 한 개를 꺼내므로, 한 번의 시행에서 확인하는 수를 $X$ 라 하면 $X$ 는 $0$, $1$, $2$ 를 각각 확률 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ 로 가집니다.

$E(X)=0\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+1\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+2\times {\displaystyle \frac{1}{3}}=1$

$E\left(X^2\right)=0\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+1\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+4\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$

$V(X)=E\left(X^2\right)-\{E(X){\}}^2={\displaystyle \frac{5}{3}}-1={\displaystyle \frac{2}{3}}$

공을 다시 넣으므로 매 시행의 조건이 같고, 이것이 모평균 $1$·모분산 ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ 인 모집단에서 크기 $5$ 의 표본을 뽑는 상황이 됩니다.

step2. 표본평균을 합으로 바꾸어 식의 정체 밝히기

위 그림의 막대그래프가 다섯 수의 합 S 의 확률분포예요.

$5$ 번의 시행에서 확인한 수를 $X_1,X_2,\cdots ,X_5$ 라 하고 그 합을 $S=X_1+\cdots +X_5$ 라 하면 $\bar{X}={\displaystyle \frac{S}{5}}$ 입니다.

그러면 $\bar{X}={\displaystyle \frac{k}{5}}$ 라는 사건은 $S=k$ 라는 사건과 완전히 같습니다. 따라서

$a={\sum }_{k=1}^{10}{k}^{2}P(\bar{X}={\displaystyle \frac{k}{5}})={\sum }_{k=1}^{10}{k}^{2}P(S=k)$

입니다.

[핵심]$S$ 는 $0$ 부터 $10$ 까지의 값을 가지는데 주어진 합은 $k=1$ 부터 시작합니다. 그런데 $k=0$ 인 항은 $0^2\times P(S=0)=0$ 이라 더해도 값이 변하지 않아요. 그러니 $k=0$ 을 슬쩍 끼워 넣으면

$a={\sum }_{k=0}^{10}{k}^{2}P(S=k)=E\left(S^2\right)$

가 되어, 구할 것이 '$S$ 의 제곱의 기댓값' 하나로 정리됩니다.[/핵심]

$P(\bar{X}={\displaystyle \frac{k}{5}})$ 를 $k$ 마다 직접 구하려고 하면 $3^5=243$ 가지를 분류해야 해서 사실상 불가능합니다. 확률분포를 구하는 문제가 아니라 기댓값을 묻는 문제임을 알아채는 것이 관건이에요.

step3. $E\left(S^2\right)$ 계산하고 $6a$ 구하기

위 그림에서 붉은 화살표가 보여 주듯 이 분포는 5 를 중심으로 좌우 대칭입니다.

표본평균의 성질에서 $E\left(\bar{X}\right)=E(X)=1$ 이고 $V\left(\bar{X}\right)={\displaystyle \frac{V(X)}{5}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$ 입니다.

$S=5\bar{X}$ 이므로 확률변수의 일차변환 성질에서

$E(S)=5\times 1=5$, $V(S)=5^2\times {\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{10}{3}}$

입니다.

이제 분산 공식 $V(S)=E\left(S^2\right)-\{E(S){\}}^2$ 를 이항하면

$E\left(S^2\right)=V(S)+\{E(S){\}}^2={\displaystyle \frac{10}{3}}+5^2={\displaystyle \frac{10}{3}}+25={\displaystyle \frac{85}{3}}$

입니다. 즉 $a={\displaystyle \frac{85}{3}}$ 이고

$6\times a=6\times {\displaystyle \frac{85}{3}}=170$

입니다.

따라서 정답은 $170$ 입니다.

step1. 한 번의 시행

$E(X)=1,E\left(X^2\right)={\displaystyle \frac{5}{3}},V(X)={\displaystyle \frac{2}{3}}$

step2. 합으로 치환

$S=5\bar{X}$, $\bar{X}={\displaystyle \frac{k}{5}}\iff S=k$

$a={\sum }_{k=1}^{10}{k}^{2}P(S=k)=E\left(S^2\right)$   --- $k=0$ 항은 $0$ 이므로 보태도 무방

step3. 계산

$E\left(\bar{X}\right)=1,V\left(\bar{X}\right)={\displaystyle \frac{2}{15}}$

$E(S)=5,V(S)=25\times {\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{10}{3}}$

$E\left(S^2\right)={\displaystyle \frac{10}{3}}+25={\displaystyle \frac{85}{3}}$

$6a=170$

∴ $170$