(2027학년도) 2026년 9월 모의평가 수학 확통 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]

전개식을 전부 펼쳐 볼 필요는 없어요. 이항정리는 '몇 번째 항이 어떤 모양인지'를 하나의 식으로 알려 주니까요. 먼저

\frac{1}{x^{2}}

를

x^{- 2}

로 바꾸어 두 항을 모두 지수 꼴로 만든 다음, 일반항의

x

지수를

r

에 대한 일차식으로 정리하는 것이 첫걸음입니다. 그러면 '

x^{2}

이 나오려면

r

가 얼마여야 하는가'라는 간단한 일차방정식 하나로 문제가 줄어듭니다.

step1. 지수 꼴로 통일하고 일반항 세우기

먼저 두 번째 항을 지수 꼴로 바꿉니다. $\frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$ 이므로 주어진 식은 ${(2 x^{3} + x^{- 2})}^{4}$ 입니다.

$(a + b)^{4}$ 의 전개식의 일반항은 $_{4} C_{r} a^{4 - r} b^{r}$ 이므로, $a = 2 x^{3}$ , $b = x^{- 2}$ 를 넣으면

$_{4} C_{r} {(2 x^{3})}^{4 - r} {(x^{- 2})}^{r} =_{4} C_{r} 2^{4 - r} x^{3 (4 - r) - 2 r} =_{4} C_{r} 2^{4 - r} x^{12 - 5 r}$

가 됩니다.

일반항을 (계수) $\times$ (문자) 형태로 끝까지 정리해 두는 것이 요령입니다. 계수는 $_{4} C_{r} 2^{4 - r}$ , 문자는 $x^{12 - 5 r}$ 로 분리되어 있으니, 이제 지수 조건으로 $r$ 를 정하고 계수에 대입하기만 하면 됩니다.

step2. $x$ 의 지수를 $2$ 로 맞추기

$x^{2}$ 항이 나오려면 일반항의 지수가 $2$ 여야 하므로

$12 - 5 r = 2$

에서 $5 r = 10$ , 즉 $r = 2$ 입니다. $r = 2$ 는 $0 \leq r \leq 4$ 를 만족하는 정수이므로 이 항은 실제로 전개식에 존재합니다.

$\frac{1}{x^{2}}$ 를 지수 꼴로 바꾸지 않은 채 계산하면 지수를 빼야 할 자리에서 더해 $12 - r = 2$ 나 $12 + r = 2$ 같은 식을 세우기 쉽습니다. 분모의 문자는 반드시 음의 지수로 올려놓고 시작하세요.

step3. 계수 계산하기

$r = 2$ 를 계수 부분 $_{4} C_{r} 2^{4 - r}$ 에 대입하면

$_{4} C_{2} 2^{4 - 2} = 6 \times 2^{2} = 6 \times 4 = 24$

입니다. 여기서 $2$ 의 거듭제곱이 함께 곱해진다는 점이 중요해요. ${(2 x^{3})}^{2}$ 을 펼치면 $4 x^{6}$ 이 되므로 상수 $2$ 도 제곱되어 계수에 남습니다.

실제로 전개식은 $16 x^{12} + 32 x^{7} + 24 x^{2} + \frac{8}{x^{3}} + \frac{1}{x^{8}}$ 이고 $x^{2}$ 의 계수가 $24$ 로 일치합니다.

따라서 정답은 ⑤입니다.

step1. 일반항

$\frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$

$_{4} C_{r} {(2 x^{3})}^{4 - r} {(x^{- 2})}^{r} =_{4} C_{r} 2^{4 - r} x^{12 - 5 r}$

step2. 지수 비교

$12 - 5 r = 2 \Rightarrow r = 2$

step3. 계수

$_{4} C_{2} \cdot 2^{2} = 6 \times 4 = 24$

$∴ ⑤$

(2027학년도) 2026년 9월 모의평가 고3 수학 확통 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 이항정리 / 이항전개식의 일반항 / 특정 항의 계수
난이도	중하

수학여정 - 문제 분석 리포트