수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 여사건에서 $P(A)$ 구하기

위 그림에서 파란 양방향 화살표가 가리키는 왼쪽 부분이 사건 A 이고, 그 가로 길이가 곧 P(A) 예요.

주어진 값은 $P(A)$ 가 아니라 여사건의 확률 $P\left(A^C\right)={\displaystyle \frac{2}{5}}$ 입니다.

사건 $A$ 가 일어나거나 일어나지 않거나 둘 중 하나이므로 $P(A)+P\left(A^C\right)=1$ 이고, 따라서

$P(A)=1-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

입니다.

$C$ 가 붙어 있는 것을 흘려 보고 $P(A)={\displaystyle \frac{2}{5}}$ 로 쓰기 쉬운데, 그러면 이후 계산이 전부 어긋납니다. 여사건 기호가 보이면 계산에 들어가기 전에 반드시 원사건 값으로 뒤집어 놓으세요.

step2. 곱셈정리로 $P(A\cap B)$ 구하기

위 그림의 초록 직사각형이 A와 B가 함께 일어나는 부분이고, 그 넓이가 가로 35 와 세로 23 의 곱입니다.

조건부확률의 정의에 의해

$P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$

입니다. 여기서 양변에 $P(A)$ 를 곱하면 곱셈정리 $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$ 가 됩니다.

$P(B\mid A)$ 의 분모는 세로줄 뒤에 있는 $A$ 의 확률입니다. 그래서 이 문제는 $P(A)$ 만 알면 되고, $P(B)$ 는 처음부터 필요하지 않아요. 조건이 무엇인지만 정확히 읽어 내면 구조가 단번에 보입니다.

step1에서 구한 $P(A)={\displaystyle \frac{3}{5}}$ 와 주어진 $P(B\mid A)={\displaystyle \frac{2}{3}}$ 를 대입하면

$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$

입니다. 곱사건의 확률 ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ 가 $P(A)={\displaystyle \frac{3}{5}}$ 보다 크지 않으므로 값도 자연스럽습니다.

따라서 정답은 ④입니다.

step1. 여사건

$P(A)=1-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

step2. 곱셈정리

$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$   --- 조건부확률의 정의에서 분모를 옮김

$={\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$

$\therefore ④$