수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 조건부 확률 구조 파악 및 첫 번째 시행 고정

사건 A를 '$a_1=0$ 이고 $a_7=1$', 사건 B를 '좌표의 최댓값이 2'라고 해볼게요. 우리가 구해야 하는 것은 $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ 입니다.

먼저 $a_1=0$이 되려면 첫 번째 시행에서 점 P가 이동하지 않아야 합니다. 즉, 주사위의 눈이 3 이상 나와야 하므로 이 확률은 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$로 고정됩니다.

step2. 나머지 6번 시행의 이동 횟수 조합 찾기

이제 2번째부터 7번째까지 총 6번의 시행이 남았습니다. 이 6번의 시행 동안 총 이동 거리가 $+1$이 되어야 $a_7=1$이 됩니다.

각 시행에서 $+1$ 이동하는 횟수를 $a$, $-1$ 이동하는 횟수를 $b$, 이동하지 않는(0) 횟수를 $c$라고 하면 다음 두 식을 세울 수 있어요.

총 시행 횟수: $a+b+c=6$

총 이동 거리: $a-b=1$ (즉, $a=b+1$)

이 식을 만족하는 $(a,b,c)$의 조합을 찾아보면 딱 세 가지 경우가 나옵니다.

- 경우 1: $b=0$ 이면 $a=1,c=5$

- 경우 2: $b=1$ 이면 $a=2,c=3$

- 경우 3: $b=2$ 이면 $a=3,c=1$

step3. 분모에 해당하는 전체 확률 $P(A)$ 계산

앞서 찾은 세 가지 경우에 대해 각각의 확률을 계산해 봅시다. 독립시행의 확률과 같은 것이 있는 순열을 이용합니다.

- 경우 1 ($+1$이 1번, $0$이 5번):

경우의 수: $\frac{6!}{1!5!}=6$

확률: $6\times (\frac{1}{6}{)}^1\times (\frac{4}{6}{)}^5=6\times \frac{1024}{6^6}=\frac{6144}{6^6}$

- 경우 2 ($+1$이 2번, $-1$이 1번, $0$이 3번):

경우의 수: $\frac{6!}{2!1!3!}=60$

확률: $60\times (\frac{1}{6}{)}^2\times (\frac{1}{6}{)}^1\times (\frac{4}{6}{)}^3=60\times \frac{64}{6^6}=\frac{3840}{6^6}$

- 경우 3 ($+1$이 3번, $-1$이 2번, $0$이 1번):

경우의 수: $\frac{6!}{3!2!1!}=60$

확률: $60\times (\frac{1}{6}{)}^3\times (\frac{1}{6}{)}^2\times (\frac{4}{6}{)}^1=60\times \frac{4}{6^6}=\frac{240}{6^6}$

따라서 사건 A가 일어날 전체 확률은 $P(A)=\frac{2}{3}\times \frac{6144+3840+240}{6^6}=\frac{2}{3}\times \frac{10224}{6^6}$ 가 됩니다.

step4. 분자에 해당하는 확률 $P(A\cap B)$ 계산

이제 위 세 가지 경우 중에서 '좌표의 최댓값이 2'가 되는 경우만 골라내야 합니다.

0은 좌표의 변화에 영향을 주지 않으므로, $+1$과 $-1$의 나열 순서를 먼저 결정하여 최댓값을 확인한 뒤, 0이 들어갈 자리를 조합으로 곱해주는 방식이 편리합니다.

- 경우 1: $+1$이 1번뿐이므로 최댓값은 기껏해야 1입니다. (조건 만족 0가지)

- 경우 2: $+1$ 2개와 $-1$ 1개를 나열합니다. 누적합이 2가 되려면 반드시 $(+1,+1,-1)$ 순서여야 합니다. (1가지)

이제 6개의 자리 중 0이 들어갈 3자리를 고르는 경우의 수 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$을 곱해줍니다.

조건을 만족하는 경우의 수는 $1\times 20=20$가지.

확률: $20\times (\frac{1}{6}{)}^2\times (\frac{1}{6}{)}^1\times (\frac{4}{6}{)}^3=20\times \frac{64}{6^6}=\frac{1280}{6^6}$

- 경우 3: $+1$ 3개와 $-1$ 2개를 나열합니다. 총 $\frac{5!}{3!2!}=10$가지 배열이 있습니다.

문제에서 '가장 큰 값이 2'라고 했으므로, 최댓값이 3이 되는 $(+1,+1,+1,-1,-1)$ 1가지는 반드시 제외해야 합니다!

나머지 배열 중 최댓값이 2인 것을 직접 찾아보면 $(+,+,-,+,-),(+,+,-,-,+),(+,-,+,+,-),(-,+,+,+,-)$ 의 4가지가 나옵니다.

6개의 자리 중 0이 들어갈 1자리를 고르는 경우의 수 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}\right)=6$을 곱해줍니다.

조건을 만족하는 경우의 수는 $4\times 6=24$가지.

확률: $24\times (\frac{1}{6}{)}^3\times (\frac{1}{6}{)}^2\times (\frac{4}{6}{)}^1=24\times \frac{4}{6^6}=\frac{96}{6^6}$

따라서 조건을 만족하는 확률은 $P(A\cap B)=\frac{2}{3}\times \frac{1280+96}{6^6}=\frac{2}{3}\times \frac{1376}{6^6}$ 가 됩니다.

step5. 조건부 확률 계산 및 정답 도출

마지막으로 조건부 확률을 계산합니다.

$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{2}{3}\times \frac{1376}{6^6}}{\frac{2}{3}\times \frac{10224}{6^6}}$

공통된 부분인 $\frac{2}{3}$와 $6^6$을 약분하면,

$P(B|A)=\frac{1376}{10224}$

분모와 분자를 16으로 약분해 볼게요.

$1376÷16=86$

$10224÷16=639$

따라서 확률은 $\frac{86}{639}$ 입니다. 86과 639는 더 이상 공약수가 없는 서로소입니다.

$p=639,q=86$ 이므로 $p+q=639+86=725$ 가 됩니다.

step1. 조건부 확률 구조 파악

$A$: $a_1=0,a_7=1$

$B$: $max=2$

구하는 확률: $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

$a_1=0$ 이므로 1회 시행은 이동 안 함   --- 확률 $2/3$

step2. & 3. 분모 $P(A)$ 계산

남은 6회 시행에서 총 이동 +1

$+1$ 횟수 $a$, $-1$ 횟수 $b$, $0$ 횟수 $c$

$a+b+c=6,a-b=1⟹a=b+1$

1) $b=0⟹a=1,c=5$: $\frac{6!}{1!5!}\times 1^1\times 4^5=6\times 1024=6144$

2) $b=1⟹a=2,c=3$: $\frac{6!}{2!1!3!}\times 1^2\times 1^1\times 4^3=60\times 64=3840$

3) $b=2⟹a=3,c=1$: $\frac{6!}{3!2!1!}\times 1^3\times 1^2\times 4^1=60\times 4=240$

분모 비례값 = $6144+3840+240=10224$

step4. 분자 $P(A\cap B)$ 계산

최댓값이 2인 경우만 추출

1) $b=0$: 최댓값 1   --- 0가지

2) $b=1$: $(+,+,-)$ 1가지 $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$가지

$20\times 1^3\times 4^3=1280$

3) $b=2$: $+1$ 3개, $-1$ 2개 중 최댓값 2인 배열 4가지 $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}\right)=24$가지

$24\times 1^5\times 4^1=96$

분자 비례값 = $1280+96=1376$

step5. 정답 도출

$P(B|A)=\frac{1376}{10224}=\frac{86}{639}$

$p=639,q=86$   --- 서로소

$\therefore p+q=725$