수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 첫 번째 조건 표준화하기

먼저 $P(m\le X\le 2m)=0.4772$를 표준화해 볼게요.

$X$를 $Z=\frac{X-m}{\sigma }$를 이용해 바꾸면,

$P(\frac{m-m}{\sigma }\le Z\le \frac{2m-m}{\sigma })=P(0\le Z\le \frac{m}{\sigma })$가 됩니다.

이 값이 $0.4772$라고 했죠.

표준정규분포표를 보면 $P(0\le Z\le 2.0)=0.4772$입니다.

따라서 $\frac{m}{\sigma }=2$가 되고, 이를 정리하면 $m=2\sigma$라는 첫 번째 식을 얻을 수 있어요.

step2. 두 번째 조건 표준화하기

이제 $P(X\ge 2)=0.8413$을 표준화해 봅시다.

$P(Z\ge \frac{2-m}{\sigma })=0.8413$이 됩니다.

여기서 확률이 $0.5$보다 크다는 점에 주목해야 해요. 이는 기준값 $\frac{2-m}{\sigma }$가 $0$보다 작다(음수이다)는 것을 의미합니다.

따라서 이 확률은 $0$ 이상인 부분의 확률 $0.5$와, $\frac{2-m}{\sigma }$부터 $0$까지의 확률을 더한 값이에요.

$P(Z\ge \frac{2-m}{\sigma })=0.5+P(\frac{2-m}{\sigma }\le Z\le 0)=0.8413$

대칭성에 의해 $P(\frac{2-m}{\sigma }\le Z\le 0)=P(0\le Z\le -\frac{2-m}{\sigma })=P(0\le Z\le \frac{m-2}{\sigma })$로 쓸 수 있습니다.

즉, $0.5+P(0\le Z\le \frac{m-2}{\sigma })=0.8413$이므로,

$P(0\le Z\le \frac{m-2}{\sigma })=0.3413$이 됩니다.

표에서 $P(0\le Z\le 1.0)=0.3413$이므로, $\frac{m-2}{\sigma }=1$이 되고, 정리하면 $m-2=\sigma$라는 두 번째 식을 얻습니다.

step3. 평균과 표준편차 구하기

step1과 step2에서 구한 두 식을 연립해 볼게요.

$m=2\sigma$

$m-\sigma =2$

첫 번째 식을 두 번째 식에 대입하면,

$2\sigma -\sigma =2⟹\sigma =2$가 됩니다.

이를 다시 대입하면 $m=4$가 되죠.

따라서 확률변수 $X$는 정규분포 $N(4,2^2)$을 따른다는 것을 알 수 있습니다.

step4. 최종 확률 계산하기

이제 우리가 구해야 할 $P(0\le X\le 5)$를 계산해 봅시다.

$m=4,\sigma =2$를 이용하여 표준화하면,

$P(\frac{0-4}{2}\le Z\le \frac{5-4}{2})=P(-2\le Z\le 0.5)$가 됩니다.

이 확률은 $0$을 기준으로 두 부분으로 나눌 수 있어요.

$P(-2\le Z\le 0)+P(0\le Z\le 0.5)$

대칭성에 의해 $P(-2\le Z\le 0)=P(0\le Z\le 2)$이므로,

$P(0\le Z\le 2)+P(0\le Z\le 0.5)$가 됩니다.

표에서 각각의 값을 찾아 더해주면,

$0.4772+0.1915=0.6687$이 됩니다.

따라서 정답은 ③번입니다.

step1. 첫 번째 조건 표준화

$P(m\le X\le 2m)=P(0\le Z\le \frac{m}{\sigma })=0.4772$

$\frac{m}{\sigma }=2⟹m=2\sigma$

step2. 두 번째 조건 표준화

$P(X\ge 2)=P(Z\ge \frac{2-m}{\sigma })=0.8413$

--- 확률이 0.5보다 크므로 $\frac{2-m}{\sigma }<0$

$P(Z\ge \frac{2-m}{\sigma })=0.5+P(0\le Z\le \frac{m-2}{\sigma })=0.8413$

$P(0\le Z\le \frac{m-2}{\sigma })=0.3413$

$\frac{m-2}{\sigma }=1⟹m-2=\sigma$

step3. 평균과 표준편차 구하기

$2\sigma -2=\sigma ⟹\sigma =2,m=4$

step4. 최종 확률 계산하기

$P(0\le X\le 5)=P(\frac{0-4}{2}\le Z\le \frac{5-4}{2})=P(-2\le Z\le 0.5)$

$=P(0\le Z\le 2)+P(0\le Z\le 0.5)$

$=0.4772+0.1915=0.6687$

$\therefore ③$