수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 전체 공의 개수와 홀수, 짝수의 개수 파악

주머니에는 $1$부터 $2n+1$까지의 자연수가 적힌 공이 있어요.

전체 공의 개수는 $2n+1$개입니다.

이 중에서 홀수는 $1,3,5,\dots ,2n+1$ 이므로 총 $n+1$개이고,

짝수는 $2,4,6,\dots ,2n$ 이므로 총 $n$개입니다.

step2. 확률변수 $X$의 확률 구하기

전체 $2n+1$개의 공 중에서 임의로 2개를 꺼내는 전체 경우의 수는 조합을 이용하여 구합니다.

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2}\right)=\frac{(2n+1)\times 2n}{2}=n(2n+1)$

이제 $X$가 가질 수 있는 값을 생각해볼까요?

$X$는 두 수가 홀수와 짝수일 때 그 '짝수'의 값을 가집니다. 주머니 안의 짝수는 $2,4,\dots ,2n$이므로, 일반적인 짝수를 $2k$ ($k=1,2,\dots ,n$)라고 표현해볼게요.

$X=2k$가 되려면 반드시 우리가 원하는 그 특정 짝수 $2k$ 1개와, 아무 홀수나 1개를 뽑아야 한다는 점을 파악하는 것이 중요해요.

따라서 $X=2k$가 될 경우의 수는 (특정 짝수 $2k$를 뽑는 경우 1가지) $\times$ (홀수 $n+1$개 중 1개를 뽑는 경우 $n+1$가지) $=n+1$가지가 됩니다.

그러므로 확률은 다음과 같아요.

$P(X=2k)=\frac{n+1}{n(2n+1)}$

참고로 두 수가 모두 홀수이거나 모두 짝수이면 $X=0$이 되지만, 기댓값을 구할 때 $0\times P(X=0)=0$이 되므로 굳이 $P(X=0)$의 확률을 복잡하게 계산할 필요는 없답니다.

step3. 기댓값 $E(X)$와 $E(X^2)$ 계산

이제 기댓값의 정의를 이용하여 $E(X)$를 구해볼게요.

$E(X)={\sum }_{k=1}^n(2k)·P(X=2k)$

$E(X)={\sum }_{k=1}^{n}2k·\frac{n+1}{n(2n+1)}$

시그마 계산 시 변수는 $k$이고 $n$은 상수 취급하여 시그마 밖으로 빼내야 계산이 꼬이지 않아요.

$E(X)=\frac{2(n+1)}{n(2n+1)}{\sum }_{k=1}^{n}k$

여기서 ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ 이므로 대입하면,

$E(X)=\frac{2(n+1)}{n(2n+1)}·\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1{)}^2}{2n+1}$ 이 됩니다.

같은 방법으로 $E(X^2)$도 구해봅시다.

$E(X^2)={\sum }_{k=1}^n(2k{)}^2·P(X=2k)$

$E(X^2)={\sum }_{k=1}^{n}4k^2·\frac{n+1}{n(2n+1)}$

$E(X^2)=\frac{4(n+1)}{n(2n+1)}{\sum }_{k=1}^n{k}^2$

${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 이므로 대입하면,

$E(X^2)=\frac{4(n+1)}{n(2n+1)}·\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2(n+1{)}^2}{3}$ 이 됩니다.

step4. 조건을 이용하여 $n$의 값 구하기

문제에서 $E(X^2)=14E(X)$ 라고 주어졌어요. 우리가 구한 식을 대입해볼까요?

$\frac{2(n+1{)}^2}{3}=14·\frac{(n+1{)}^2}{2n+1}$

$n$은 자연수이므로 $(n+1{)}^2$은 절대 $0$이 될 수 없어요. 따라서 양변을 $2(n+1{)}^2$으로 시원하게 나누어 줄 수 있습니다.

$\frac{1}{3}=\frac{7}{2n+1}$

대각선으로 곱해서 정리하면,

$2n+1=21$

$2n=20$

따라서 $n=10$ 이 됩니다.

step5. 최종 정답 계산

이제 $n=10$을 $E(X)$ 식에 대입하여 $E(X)$의 값을 먼저 구해볼게요.

$E(X)=\frac{(10+1{)}^2}{2(10)+1}=\frac{{11}^2}{21}=\frac{121}{21}$

우리가 최종적으로 구해야 하는 값은 $E(7X+\frac{2}{3})$ 입니다. 기댓값의 성질을 이용하면 분리할 수 있죠.

$E(7X+\frac{2}{3})=7E(X)+\frac{2}{3}$

$=7·\frac{121}{21}+\frac{2}{3}$

$=\frac{121}{3}+\frac{2}{3}$

$=\frac{123}{3}=41$

따라서 정답은 $41$이 됩니다.

step1. 공의 개수 파악

전체: $2n+1$개

홀수: $n+1$개, 짝수: $n$개

step2. 확률 구하기

전체 경우의 수: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2}\right)=n(2n+1)$

$X=2k$ ($k=1,\dots ,n$)일 확률:

$P(X=2k)=\frac{1·(n+1)}{n(2n+1)}$

step3. 기댓값 계산

$E(X)={\sum }_{k=1}^{n}2k·\frac{n+1}{n(2n+1)}=\frac{2(n+1)}{n(2n+1)}·\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1{)}^2}{2n+1}$

$E(X^2)={\sum }_{k=1}^{n}4k^2·\frac{n+1}{n(2n+1)}=\frac{4(n+1)}{n(2n+1)}·\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2(n+1{)}^2}{3}$

step4. $n$ 구하기

$E(X^2)=14E(X)$

$\frac{2(n+1{)}^2}{3}=14·\frac{(n+1{)}^2}{2n+1}$

$\frac{1}{3}=\frac{7}{2n+1}⟹2n+1=21⟹n=10$

step5. 최종 계산

$E(X)=\frac{{11}^2}{21}=\frac{121}{21}$

$E(7X+\frac{2}{3})=7E(X)+\frac{2}{3}=7·\frac{121}{21}+\frac{2}{3}=\frac{121}{3}+\frac{2}{3}=\frac{123}{3}=41$

$\therefore 41$