(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]

조건 (가)에서 '검은 공이 없는 상자가 2개 이상'이라고 했어요. 상자가 총 4개니까, 반대로 생각하면 검은 공이 들어가는 상자는 기껏해야 1개 아니면 2개라는 뜻이겠죠? 이렇게 가장 특이한 조건이 걸려 있는 '검은 공'을 기준으로 먼저 상황을 쪼개는 것이 이 문제의 출발점이에요!

step1. 조건 (가) 해석 및 케이스 분류

먼저 조건 (가)를 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 볼게요. '검은 공이 들어 있지 않은 상자의 개수가 2 이상'이라는 말은, 전체 4개의 상자 중에서 검은 공이 들어 있는 상자의 개수는 2 이하라는 뜻과 완벽히 같아요.

따라서 우리는 다음 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있습니다.

- Case 1: 검은 공이 1개의 상자에만 들어가는 경우

- Case 2: 검은 공이 2개의 상자에 들어가는 경우

step2. Case 1: 검은 공이 1개의 상자에 들어가는 경우

먼저 4개의 상자 중 검은 공을 몰아넣을 상자 1개를 골라야 해요. 그 경우의 수는 $(\binom{4}{1}) = 4$ 가지입니다.

예를 들어 그 상자를 A라고 해볼게요. 상자 A에는 검은 공 4개가 모두 들어갔습니다.

이제 조건 (나)를 볼 차례예요. '검은 공이 들어 있는 상자에 들어 있는 흰 공의 개수는 1 이하'라고 했죠? 여기서 1 이하라는 말은 1개뿐만 아니라 '0개'도 가능하다는 점을 절대 놓치면 안 돼요!

1) 상자 A에 흰 공이 0개 들어가는 경우:

남은 흰 공 6개를 나머지 상자 B, C, D에 자유롭게 넣으면 됩니다. 빈 상자가 있어도 되므로 중복조합을 쓰면 돼요.

$_{3} H_{6} = (\binom{3 + 6 - 1}{6}) = (\binom{8}{6}) = (\binom{8}{2}) = 28$ 가지입니다.

2) 상자 A에 흰 공이 1개 들어가는 경우:

남은 흰 공 5개를 상자 B, C, D에 넣으면 됩니다.

$_{3} H_{5} = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = (\binom{7}{5}) = (\binom{7}{2}) = 21$ 가지입니다.

따라서 Case 1의 총 경우의 수는 $4 \times (28 + 21) = 4 \times 49 = 196$ 가지가 됩니다.

step3. Case 2: 검은 공이 2개의 상자에 들어가는 경우

이번에는 검은 공이 2개의 상자에 들어가는 경우입니다.

먼저 4개의 상자 중 검은 공이 들어갈 상자 2개를 고릅니다. $(\binom{4}{2}) = 6$ 가지예요.

예를 들어 상자 A와 B가 선택되었다고 해볼게요. 이 두 상자에는 검은 공이 적어도 1개씩은 들어가야 하므로, 4개의 검은 공을 나누는 방법은 (1개, 3개), (2개, 2개), (3개, 1개)로 총 3가지가 있습니다.

이제 흰 공을 분배해 볼까요? 조건 (나)에 의해 상자 A와 B에는 흰 공이 각각 0개 또는 1개만 들어갈 수 있어요. 상자 A와 B에 들어가는 흰 공의 개수를 순서쌍으로 나타내면 $(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)$ 이렇게 4가지 상황이 생깁니다.

1) $(0, 0)$ 인 경우 (흰 공 0개 사용):

남은 흰 공 6개를 상자 C, D에 넣습니다. $_{2} H_{6} = (\binom{7}{6}) = 7$ 가지.

2) $(0, 1)$ 또는 $(1, 0)$ 인 경우 (흰 공 1개 사용):

남은 흰 공 5개를 상자 C, D에 넣습니다. 각각 $_{2} H_{5} = (\binom{6}{5}) = 6$ 가지이므로, 총 $2 \times 6 = 12$ 가지.

3) $(1, 1)$ 인 경우 (흰 공 2개 사용):

남은 흰 공 4개를 상자 C, D에 넣습니다. $_{2} H_{4} = (\binom{5}{4}) = 5$ 가지.

이 세 가지 상황을 모두 더하면 흰 공을 분배하는 경우의 수는 $7 + 12 + 5 = 24$ 가지가 됩니다.

따라서 Case 2의 총 경우의 수는 (상자 선택) $\times$ (검은 공 분배) $\times$ (흰 공 분배) $= 6 \times 3 \times 24 = 432$ 가지입니다.

step4. 최종 정답 도출

우리가 구한 두 가지 케이스는 동시에 일어날 수 없는 배반사건이므로, 각각 구한 경우의 수를 더해주면 됩니다.

Case 1에서 196가지, Case 2에서 432가지가 나왔으므로,

총 경우의 수는 $196 + 432 = 628$ 가지입니다.

step1. 조건 (가) 해석 및 케이스 분류

검은 공이 없는 상자 $\geq 2$ $⟺$ 검은 공이 있는 상자 $\leq 2$

$∴$ 검은 공이 들어가는 상자는 1개 또는 2개

step2. Case 1: 검은 공이 1개의 상자에 들어가는 경우

상자 선택: $(\binom{4}{1}) = 4$

선택된 상자의 흰 공 개수(조건 나): 0개 또는 1개

--- 남은 흰 공을 나머지 3개 상자에 분배

흰 공 분배: $_{3} H_{6} +_{3} H_{5} = (\binom{8}{6}) + (\binom{7}{5}) = 28 + 21 = 49$

$∴ ④ \times 49 = 196$

step3. Case 2: 검은 공이 2개의 상자에 들어가는 경우

상자 선택: $(\binom{4}{2}) = 6$

검은 공 분배: (1,3), (2,2), (3,1) $\to 3$ 가지

선택된 두 상자의 흰 공 개수: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

--- 남은 흰 공을 나머지 2개 상자에 분배

흰 공 분배: $_{2} H_{6} + 2 \times_{2} H_{5} +_{2} H_{4} = (\binom{7}{6}) + 2 (\binom{6}{5}) + (\binom{5}{4}) = 7 + 12 + 5 = 24$

$∴ 6 \times 3 \times 24 = 432$

step4. 최종 정답 도출

$196 + 432 = 628$

$∴ 628$

(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 고3 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 경우의 수 / 중복조합 / 조건이 있는 순열과 조합
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

⚡ 실전용 풀이