수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 단면의 넓이 $S(x)$ 구하기

$x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 반원이에요. 이 반원의 지름은 곡선의 $y$좌표와 같으므로, 반지름은 $\frac{y}{2}$가 됩니다.

단면이 반원일 때 $y$값을 그대로 반지름으로 착각하기 쉬우니 꼭 반으로 나누어야 해요!

따라서 단면의 넓이 $S(x)$는 다음과 같이 구할 수 있어요.

$S(x)=\frac{1}{2}\pi {\left(\frac{y}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{8}{y}^2$

주어진 곡선의 식 $y=2x\sqrt{x\sin x^2}$를 대입해 볼까요?

$y^2={\left(2x\sqrt{x\sin x^2}\right)}^2=4x^2(x\sin x^2)=4x^3\sin x^2$

그러므로 $S(x)=\frac{\pi }{8}·4x^3\sin x^2=\frac{\pi }{2}{x}^3\sin x^2$ 입니다.

step2. 부피 식 세우고 치환적분 적용하기

입체도형의 부피 $V$는 $x=\sqrt{\frac{\pi }{6}}$부터 $x=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$까지 $S(x)$를 정적분하여 구합니다.

$V={\int }_{\sqrt{\frac{\pi }{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}\frac{\pi }{2}{x}^3\sin x^{2}dx$

이 식을 적분하기 위해 $x^2=t$로 치환하여 치환적분법을 적용해 볼게요.

양변을 미분하면 $2xdx=dt$, 즉 $xdx=\frac{1}{2}dt$가 됩니다.

적분 구간도 $x$에서 $t$로 바꿔야겠죠?

$x=\sqrt{\frac{\pi }{6}}$ 일 때 $t=\frac{\pi }{6}$

$x=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ 일 때 $t=\frac{\pi }{2}$

이제 적분 식을 $t$에 대해 다시 써보면,

$x^3\sin x^{2}dx=x^2\sin x^2·(xdx)=t\sin t·\frac{1}{2}dt$ 이므로,

$V=\frac{\pi }{2}{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}t\sin t·\frac{1}{2}dt=\frac{\pi }{4}{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}t\sin tdt$ 가 됩니다.

step3. 부분적분법으로 계산 마무리하기

이제 $\int t\sin tdt$를 계산해야 해요. 다항함수($t$)와 삼각함수($\sin t$)가 곱해져 있으므로 부분적분법을 사용합니다.

$f(t)=t$, $g^{\prime }(t)=\sin t$로 두면,

$f^{\prime }(t)=1$, $g(t)=-\cos t$가 됩니다.

부분적분 공식에 대입하면,

$\int t\sin tdt=-t\cos t-\int (-\cos t)dt=-t\cos t+\sin t$

이제 정적분 값을 계산해 볼까요?

${[-t\cos t+\sin t]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}$

$=(-\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2})-(-\frac{\pi }{6}\cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{6})$

$\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ 이므로,

$=(0+1)-(-\frac{\pi }{6}·\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})$

$=1+\frac{\sqrt{3}\pi }{12}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\pi }{12}=\frac{6+\sqrt{3}\pi }{12}$

마지막으로 앞에 있던 상수 $\frac{\pi }{4}$를 곱해주면 최종 부피가 나옵니다.

$V=\frac{\pi }{4}·\frac{6+\sqrt{3}\pi }{12}=\frac{6\pi +\sqrt{3}{\pi }^2}{48}=\frac{\sqrt{3}{\pi }^2+6\pi }{48}$

따라서 정답은 ③번입니다.

step1. 단면의 넓이 $S(x)$ 구하기

$y=2x\sqrt{x\sin x^2}$

단면은 지름이 $y$인 반원이므로,

$S(x)=\frac{1}{2}\pi {\left(\frac{y}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{8}{y}^2$

$S(x)=\frac{\pi }{8}·4x^3\sin x^2=\frac{\pi }{2}{x}^3\sin x^2$

step2. 부피 식 세우고 치환적분 적용하기

$V={\int }_{\sqrt{\frac{\pi }{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}\frac{\pi }{2}{x}^3\sin x^{2}dx$

--- $x^2=t$로 치환하면 $xdx=\frac{1}{2}dt$이므로

$V=\frac{\pi }{2}{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}t\sin t·\frac{1}{2}dt=\frac{\pi }{4}{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}t\sin tdt$

step3. 부분적분법으로 계산 마무리하기

--- 부분적분법을 이용

$\int t\sin tdt=-t\cos t+\sin t$

$V=\frac{\pi }{4}{[-t\cos t+\sin t]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}$

$V=\frac{\pi }{4}\{(0+1)-(-\frac{\pi }{6}·\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})\}$

$V=\frac{\pi }{4}(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\pi }{12})=\frac{\pi }{4}\left(\frac{6+\sqrt{3}\pi }{12}\right)$

$V=\frac{\sqrt{3}{\pi }^2+6\pi }{48}$

$\therefore ③$