(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 미적분 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 삼각함수의 기본 극한 형태를 만들기 위해 식을 변형하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $\sin$ 안의 각도와 분모의 형태를 같게 만들어줍니다.

step2. 삼각함수의 극한 기본 공식을 적용하여 극한값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 극한 기본 공식 : ${lim}_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (단, $x$ 의 단위는 라디안)

5. 구체적 풀이

삼각함수의 극한을 볼 때는 가장 먼저

{lim}_{x \to 0} \frac{\sin ◻}{◻} = 1

형태를 떠올려야 해요. 여기서 중요한 건

\sin

안의 '

◻

'와 분모의 '

◻

'가 완전히 똑같이 생겨야 한다는 점이죠. 이 문제에서는

\sin

안에

5 x

가 있으니, 분모도

5 x

로 만들어주면 해결될 거예요.

step1. 분모와 분자의 형태 맞추기

주어진 식은 ${lim}_{x \to 0} \frac{\sin 5 x}{x}$ 예요.

$\sin$ 안의 각도인 $5 x$ 는 마음대로 밖으로 꺼내거나 바꿀 수 없다는 점을 주의해야 해요.

따라서 분모를 $5 x$ 로 만들어주어야 합니다. 분모에 5를 곱해주고, 원래 식과 값이 달라지지 않도록 전체 식에 다시 5를 곱해줍니다.

${lim}_{x \to 0} \frac{\sin 5 x}{x} = {lim}_{x \to 0} (\frac{\sin 5 x}{5 x} \times 5)$

step2. 극한값 계산하기

이제 ${lim}_{x \to 0} \frac{\sin 5 x}{5 x}$ 부분은 $5 x$ 를 하나의 덩어리로 보면 ${lim}_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$ 와 같은 형태가 되어 그 극한값이 1이 된다는 것을 이용할 거예요.

${lim}_{x \to 0} (\frac{\sin 5 x}{5 x} \times 5) = 1 \times 5 = 5$

따라서 구하는 극한값은 5가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 분모와 분자의 형태 맞추기

${lim}_{x \to 0} \frac{\sin 5 x}{x}$

$= {lim}_{x \to 0} \frac{\sin 5 x}{5 x} \times 5$ --- 분모를 $5 x$ 로 맞추기 위해 5를 곱하고 나눔

step2. 극한값 계산하기

$= 1 \times 5$ --- ${lim}_{x \to 0} \frac{\sin 5 x}{5 x} = 1$ 을 이용

$= 5$

$∴ ⑤$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$\sin$ 안의 각도인 $5 x$ 와 분모의 $x$ 가 다를 때 어떻게 처리해야 할지 몰라 당황할 수 있습니다.

🔑 돌파구

$\sin$ 안의 각도와 분모의 형태를 똑같이 만들어주는 것이 핵심입니다. 분모에 필요한 숫자를 곱해주고, 식의 값이 변하지 않도록 다시 같은 숫자를 곱해주는 조작을 해보세요.
(팁: ${lim}_{x \to 0} \frac{\sin a x}{b x} = \frac{a}{b}$ 임을 기억해두면 편리합니다.)

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 미적분 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	미적분 · 삼각함수의 극한
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구