수학여정 - 문제 분석 리포트

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 미적분 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류미적분 · 합성함수의 미분법 / 미분계수
난이도중하

🔍 이해용 풀이

문제
27. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여

f(x)+f(12sinx)=sinx

를 만족시킬 때, f′(π)의 값은? [3점]
① −56    ② −23    ③ −12    ④ −13    ⑤ −16

1. 문제의 요지

이 문제는 합성함수의 미분법을 이용하여 주어진 항등식을 미분하고, 적절한 x 값을 대입하여 미분계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
- 모든 실수 x에 대하여 f(x)+f(12sinx)=sinx

3. 풀이의 순서

이 문제는 합성함수의 미분법을 이용하여 항등식을 미분한 후, 적절한 x 값을 대입하여 연립방정식을 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 주어진 항등식의 양변을 x에 대하여 미분합니다.

step2. 미분한 식에 x=π를 대입하여 f′(π)와 f′(0)에 대한 관계식을 만듭니다.

step3. 미분한 식에 x=0을 대입하여 f′(0)의 값을 구합니다.

step4. 구한 f′(0)의 값을 step2의 관계식에 대입하여 최종적으로 f′(π)를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 합성함수의 미분법 : 미분가능한 두 함수 y=f(u)와 u=g(x)에 대하여 합성함수 y=f(g(x))의 도함수는 y′=f′(g(x))g′(x) 이다.

5. 구체적 풀이

f′(π)를 구해야 하니, 일단 주어진 식을 미분해서 f′(x)가 포함된 식을 만들어야겠다는 생각이 가장 먼저 들어야 해요. 미분한 식에 x=π를 대입해보면 f′(0)이라는 값이 튀어나오는데, 당황하지 말고 x=0을 대입해서 f′(0)을 구하면 됩니다.

step1. 양변 미분하기

주어진 식 f(x)+f(12sinx)=sinx 의 양변을 x에 대하여 미분해 볼게요.

이때 f(12sinx)는 합성함수이므로 겉미분과 속미분을 모두 해줘야 해요.

합성함수를 미분할 때 속미분인 (12sinx)′=12cosx 를 곱하는 것을 빠뜨리기 쉬우니 조심하세요.

양변을 미분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

f′(x)+f′(12sinx)·12cosx=cosx

step2. x=π 대입하기

우리가 구하고 싶은 값은 f′(π)이므로, 방금 구한 도함수 식에 x=π를 대입해 봅니다.

f′(π)+f′(12sinπ)·12cosπ=cosπ

여기서 sinπ=0 이고 cosπ=−1 이라는 것을 알고 있죠? 이를 대입하여 식을 정리해 볼게요.

f′(π)+f′(0)·12(−1)=−1

f′(π)−12f′(0)=−1

f′(π)를 구하려다 보니 f′(0)이라는 모르는 값이 등장했어요. 이럴 때는 당황하지 말고, 도함수 식에 x=0을 대입해서 f′(0)을 직접 구해보는 것이 핵심입니다.

step3. f′(0) 구하기

f′(0)의 값을 알아내기 위해, step1에서 구한 도함수 식에 이번에는 x=0을 대입해 봅니다.

f′(0)+f′(12sin0)·12cos0=cos0

sin0=0 이고 cos0=1 이므로,

f′(0)+f′(0)·12(1)=1

f′(0)+12f′(0)=1

32f′(0)=1

따라서 f′(0)=23 이 됩니다.

step4. f′(π) 계산하기

이제 step3에서 구한 f′(0)=23 을 step2에서 만들어둔 관계식에 대입하기만 하면 끝이에요.

f′(π)−12(23)=−1

f′(π)−13=−1

f′(π)=−1+13=−23

이렇게 해서 우리가 원하던 f′(π)의 값을 무사히 구했습니다!

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 양변 미분하기

f′(x)+f′(12sinx)·12cosx=cosx

step2. x=π 대입하기

f′(π)+f′(0)·(−12)=−1

f′(π)−12f′(0)=−1

step3. f′(0) 구하기

--- x=0을 대입하면

f′(0)+f′(0)·12=1

32f′(0)=1⟹f′(0)=23

step4. f′(π) 계산하기

--- f′(0)을 대입하면

f′(π)−12·23=−1

f′(π)−13=−1

f′(π)=−23

∴②

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

합성함수 f(12sinx)를 미분할 때 속미분인 12cosx를 곱하는 것을 잊어버릴 수 있습니다.
x=π를 대입했을 때 f′(0)이라는 새로운 미지수가 등장하여 당황하고 풀이를 멈출 수 있습니다.

🔑 돌파구

합성함수 f(g(x))를 미분할 때는 겉미분 f′(g(x))에 반드시 속미분 g′(x)를 곱해야 함을 기억하세요.
새로운 미지수 f′(0)이 등장했다면, 주어진 항등식에 x=0을 대입하여 f′(0)의 값을 직접 구해보는 시도를 해보세요.
(팁: 항등식에 특정 값을 대입하여 연립방정식을 푸는 것은 미분계수 문제의 단골 패턴입니다.)

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