수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 도함수 식 세우기

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t,f(t))$에서의 접선의 기울기가 $\frac{1}{t}+4e^{2t}$라고 했어요.

접선의 기울기는 곧 미분계수이므로, $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t}+4e^{2t}$가 됩니다.

변수를 $x$로 바꾸어 쓰면 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+4e^{2x}$ 입니다.

step2. 부정적분하여 $f(x)$ 구하기

이제 $f^{\prime }(x)$를 적분하여 $f(x)$를 구해볼게요.

$f(x)=\int (\frac{1}{x}+4e^{2x})dx$

$\frac{1}{x}$를 적분하면 $\ln |x|$가 되고, $e^{2x}$를 적분하면 $\frac{1}{2}{e}^{2x}$가 됩니다.

문제에서 $x$는 양의 실수라고 했으므로 절댓값 기호는 생략할 수 있어요.

따라서 $f(x)=\ln x+4\times \frac{1}{2}{e}^{2x}+C=\ln x+2e^{2x}+C$ 가 됩니다.

부정적분을 할 때 적분상수 $C$를 빼먹지 않도록 조심하세요!

step3. 적분상수 $C$ 구하기

문제에서 $f(1)=2e^2+1$이라고 주어졌어요.

우리가 구한 식에 $x=1$을 대입해 볼까요?

$f(1)=\ln 1+2e^{2\times 1}+C=0+2e^2+C=2e^2+C$

이 값이 $2e^2+1$과 같아야 하므로,

$2e^2+C=2e^2+1$

따라서 $C=1$ 입니다.

이제 함수가 완벽해졌네요! $f(x)=\ln x+2e^{2x}+1$

step4. $f(e)$의 값 계산하기

마지막으로 구하고자 하는 $f(e)$의 값을 계산해 봅시다.

$f(e)=\ln e+2e^{2e}+1$

$\ln e=1$이므로,

$f(e)=1+2e^{2e}+1=2e^{2e}+2$

따라서 정답은 ④번입니다.

step1. 도함수 식 세우기

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+4e^{2x}$

step2. 부정적분하여 $f(x)$ 구하기

$f(x)=\int (\frac{1}{x}+4e^{2x})dx$

$f(x)=\ln x+2e^{2x}+C$   --- ($x>0$이므로)

step3. 적분상수 $C$ 구하기

$f(1)=\ln 1+2e^2+C=2e^2+C$

$2e^2+C=2e^2+1$   --- ($f(1)=2e^2+1$이므로)

$\therefore C=1$

$f(x)=\ln x+2e^{2x}+1$

step4. $f(e)$의 값 계산하기

$f(e)=\ln e+2e^{2e}+1$

$f(e)=1+2e^{2e}+1=2e^{2e}+2$

$\therefore ④$