수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 부분분수 분해를 이용하여 주어진 무한급수 $S_m$을 간단히 정리합니다.

주어진 급수의 일반항은 $\frac{m+1}{n(n+m+1)}$입니다.

분모가 $n$과 $n+m+1$의 곱으로 되어 있으므로 부분분수 분해를 적용해 볼게요.

$\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})$ 공식을 이용합니다.

여기서 $A=n$, $B=n+m+1$이라고 하면 $B-A=m+1$이 됩니다.

따라서 $\frac{m+1}{n(n+m+1)}=(m+1)\times \frac{1}{m+1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+m+1})=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+m+1}$로 간단히 정리됩니다.

step2. 무한급수의 합을 계산하여 $S_m$의 식을 구합니다.

이제 $S_m$을 다시 써보면,

$S_m={\sum }_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+m+1})$ 입니다.

무한급수의 합은 부분합의 극한으로 구할 수 있어요. 제$N$항까지의 부분합을 구해보면,

${\sum }_{n=1}^N(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+m+1})$

$=(\frac{1}{1}-\frac{1}{m+2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+3})+\dots +(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+m+1})$

이 식을 앞부분과 뒷부분으로 나누어 묶어보면,

$=(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{N})-(\frac{1}{m+2}+\frac{1}{m+3}+\dots +\frac{1}{N+m+1})$

여기서 겹치는 항들이 지워지고 남는 항들을 정리하면,

$=(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{m+1})-(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}+\dots +\frac{1}{N+m+1})$ 가 됩니다.

이제 $N\to \infty$로 극한을 보내면, 뒤에 남은 $\frac{1}{N+1},\dots ,\frac{1}{N+m+1}$ 항들은 모두 0으로 수렴합니다.

따라서 $S_m=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{m+1}$ 이 됩니다.

step3. 수열의 합과 일반항의 관계를 이용하여 $a_1$과 $a_{10}$을 구합니다.

우리가 구해야 할 것은 $a_1$과 $a_{10}$입니다.

먼저 $a_1$은 $S_1$과 같으므로,

$a_1=S_1=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ 입니다.

다음으로 $a_{10}$을 구해야 하는데, $S_{10}$을 모두 계산한 뒤 $S_9$를 빼려고 하면 계산이 복잡해져 실수하기 쉽습니다.

수열의 합과 일반항의 관계 $a_n=S_n-S_{n-1}$을 이용하면 훨씬 간단해요.

$a_{10}=S_{10}-S_9$

$=(1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{11})-(1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{10})$

$=\frac{1}{11}$ 이 됩니다.

step4. $a_1+a_{10}$을 계산하여 $p+q$의 값을 도출합니다.

이제 구한 값들을 더해줍니다.

$a_1+a_{10}=\frac{3}{2}+\frac{1}{11}=\frac{33}{22}+\frac{2}{22}=\frac{35}{22}$

문제에서 $a_1+a_{10}=\frac{q}{p}$ 라고 했고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이므로 $p=22,q=35$ 입니다.

따라서 $p+q=22+35=57$ 입니다.

step1. 부분분수 분해

$\frac{m+1}{n(n+m+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+m+1}$

step2. 무한급수의 합 계산

$S_m={lim}_{N\to \infty }{\sum }_{n=1}^N(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+m+1})$

$={lim}_{N\to \infty }({\sum }_{n=1}^{m+1}\frac{1}{n}-{\sum }_{n=N+1}^{N+m+1}\frac{1}{n})$

$={\sum }_{n=1}^{m+1}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{m+1}$

step3. $a_1$과 $a_{10}$ 구하기

$a_1=S_1=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

$a_{10}=S_{10}-S_9$   --- 수열의 합과 일반항의 관계 이용

$=(1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{11})-(1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{10})=\frac{1}{11}$

step4. $p+q$ 도출

$a_1+a_{10}=\frac{3}{2}+\frac{1}{11}=\frac{35}{22}$

$p=22,q=35$

$\therefore 57$