수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 식 정리하기

등비수열의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 하면 $a_n=a·r^{n-1}$ 입니다.

이를 주어진 극한식에 대입하면,

${lim}_{n\to \infty }\frac{4^n·a·r^{n-1}-1}{3·2^{n+1}}=1$

분모와 분자의 지수를 $n$으로 맞춰주기 위해 식을 정리해볼게요.

분모: $3·2^{n+1}=3·2^1·2^n=6·2^n$

분자: $4^n·a·r^{n-1}=a·r^{-1}·4^n·r^n=\frac{a}{r}·(4r{)}^n$

따라서 극한식은 다음과 같이 정리됩니다.

${lim}_{n\to \infty }\frac{\frac{a}{r}·(4r{)}^n-1}{6·2^n}=1$

step2. 공비 구하기

지수 형태의 극한이 0이 아닌 상수로 수렴하려면, 분모와 분자에서 밑이 가장 큰 항의 밑이 서로 같아야 합니다.

분모의 밑은 2이고, 분자의 밑은 $4r$입니다.

따라서 $4r=2$ 가 되어야 합니다.

이를 풀면 $r=\frac{1}{2}$ 입니다.

여기서 $4^n·r^{n-1}$을 정리할 때 밑이 $4r$이 된다는 점을 놓치기 쉽습니다. 지수법칙을 꼼꼼히 적용하여 지수를 $n$으로 통일해야 해요.

step3. 첫째항 구하기

구한 $r=\frac{1}{2}$ 을 정리된 극한식에 대입해볼게요.

${lim}_{n\to \infty }\frac{\frac{a}{1/2}·2^n-1}{6·2^n}={lim}_{n\to \infty }\frac{2a·2^n-1}{6·2^n}$

이 극한값은 분모와 분자의 $2^n$의 계수비와 같으므로,

$\frac{2a}{6}=\frac{a}{3}$ 이 됩니다.

주어진 조건에서 이 극한값이 1이라고 했으므로,

$\frac{a}{3}=1⟹a=3$ 입니다.

step4. $a_1+a_2$ 계산하기

첫째항 $a_1=a=3$ 이고, 공비 $r=\frac{1}{2}$ 이므로

두 번째 항 $a_2=a_1·r=3·\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ 입니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 값은

$a_1+a_2=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$ 입니다.

step1. 식 정리

$a_n=a·r^{n-1}$ 이라 하면,

${lim}_{n\to \infty }\frac{4^n·a·r^{n-1}-1}{3·2^{n+1}}=1$

${lim}_{n\to \infty }\frac{\frac{a}{r}·(4r{)}^n-1}{6·2^n}=1$

step2. 공비 구하기

--- 극한값이 0이 아닌 상수로 수렴하므로 분모와 분자의 밑이 같아야 함

$4r=2⟹r=\frac{1}{2}$

step3. 첫째항 구하기

--- $r=\frac{1}{2}$을 대입하여 극한값 계산

${lim}_{n\to \infty }\frac{2a·2^n-1}{6·2^n}=\frac{2a}{6}=\frac{a}{3}=1$

$\therefore a=3$

step4. $a_1+a_2$ 계산

$a_1=3,a_2=\frac{3}{2}$

$\therefore a_1+a_2=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$