수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 중점이 $zx$평면 위에 있을 조건

먼저 두 점 $A(a,b,-5)$와 $B(-8,6,c)$의 중점을 구해볼게요.

중점의 좌표는 각 좌표의 평균이므로 $(\frac{a-8}{2},\frac{b+6}{2},\frac{-5+c}{2})$가 됩니다.

이 중점이 $zx$평면 위에 있다고 했으므로, $y$좌표는 0이 되어야 합니다.

따라서 $\frac{b+6}{2}=0$ 이고, 이를 풀면 $b=-6$이 됩니다.

step2. 내분점이 $y$축 위에 있을 조건

다음으로 선분 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점을 구해봅시다.

내분점 공식을 쓸 때 비율 $1:2$에서 $1$은 점 $B$의 좌표에, $2$는 점 $A$의 좌표에 엇갈리게 곱해야 한다는 점을 실수하기 쉽습니다.

내분점의 $x$좌표: $\frac{1·(-8)+2·a}{1+2}=\frac{2a-8}{3}$

내분점의 $z$좌표: $\frac{1·c+2·(-5)}{1+2}=\frac{c-10}{3}$

이 내분점이 $y$축 위에 있으므로, $x$좌표와 $z$좌표가 모두 0이어야 합니다.

$x$좌표가 0이려면: $\frac{2a-8}{3}=0⟹2a-8=0⟹a=4$

$z$좌표가 0이려면: $\frac{c-10}{3}=0⟹c-10=0⟹c=10$

step3. $a+b+c$의 값 계산

이제 구한 $a,b,c$의 값을 모두 더해줍니다.

$a=4$, $b=-6$, $c=10$ 이므로,

$a+b+c=4+(-6)+10=8$ 입니다.

따라서 정답은 8이 됩니다.

step1. 중점이 $zx$평면 위에 있을 조건

중점의 $y$좌표 $=\frac{b+6}{2}=0$   --- $zx$평면 위이므로

$\therefore b=-6$

step2. 내분점이 $y$축 위에 있을 조건

내분점의 $x$좌표 $=\frac{1·(-8)+2·a}{3}=0$   --- $y$축 위이므로

$2a-8=0⟹a=4$

내분점의 $z$좌표 $=\frac{1·c+2·(-5)}{3}=0$   --- $y$축 위이므로

$c-10=0⟹c=10$

step3. $a+b+c$의 값 계산

$a+b+c=4+(-6)+10=8$

$\therefore 8$