수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 포물선의 접선의 방정식 구하기

포물선 $y^2=4x$에서 $p=1$입니다.

포물선 위의 점 $(n^2,2n)$에서의 접선의 방정식을 공식에 대입하여 구해볼까요?

$2n·y=2·1·(x+n^2)$

양변을 $2$로 나누면 $ny=x+n^2$이 됩니다.

점과 직선 사이의 거리를 구하기 위해 일반형으로 정리하면,

$x-ny+n^2=0$이 됩니다.

step2. 원의 중심과 접선 사이의 거리 구하기

원 $C$의 중심은 $(1,0)$이고, 반지름의 길이는 $r=6$입니다.

원의 중심 $(1,0)$과 접선 $x-ny+n^2=0$ 사이의 거리 $d$를 구해봅시다.

$d=\frac{|1·1+(-n)·0+n^2|}{\sqrt{1^2+(-n{)}^2}}$

$d=\frac{|1+n^2|}{\sqrt{1+n^2}}$

여기서 $n$은 자연수이므로 $1+n^2$은 항상 양수입니다. 따라서 절댓값 기호를 그대로 벗을 수 있어요.

$d=\frac{n^2+1}{\sqrt{n^2+1}}$

분모와 분자의 형태가 비슷하죠? 분자 $n^2+1$은 $(\sqrt{n^2+1}{)}^2$과 같으므로 약분할 수 있다는 점을 놓치기 쉽습니다.

약분하면 $d=\sqrt{n^2+1}$이 됩니다.

step3. 원과 접선이 만날 조건 적용하여 자연수 $n$의 개수 구하기

접선이 원 $C$와 만나려면, 원의 중심과 접선 사이의 거리 $d$가 반지름 $r$보다 작거나 같아야 합니다.

즉, $d\le 6$이어야 하므로,

$\sqrt{n^2+1}\le 6$

양변을 제곱하면,

$n^2+1\le 36$

$n^2\le 35$

이를 만족하는 자연수 $n$을 찾아볼까요?

$1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$는 모두 $35$ 이하입니다.

하지만 $6^2=36$은 $35$보다 크므로 안 됩니다.

따라서 조건을 만족하는 자연수 $n$은 $1,2,3,4,5$로 총 $5$개입니다.

step1. 포물선의 접선의 방정식 구하기

$2ny=2(x+n^2)$

$x-ny+n^2=0$

step2. 원의 중심과 접선 사이의 거리 구하기

$d=\frac{|1-0+n^2|}{\sqrt{1^2+(-n{)}^2}}$

$d=\frac{n^2+1}{\sqrt{n^2+1}}=\sqrt{n^2+1}$

step3. 원과 접선이 만날 조건 적용하여 자연수 $n$의 개수 구하기

$d\le 6$   --- 원과 직선이 만나므로

$\sqrt{n^2+1}\le 6$

$n^2+1\le 36$

$n^2\le 35$

$n$은 자연수이므로 $n=1,2,3,4,5$

$\therefore ⑤$