수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 벡터 식 변형하기

$|\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{OE}{|}^2$을 위치벡터로 표현해 봅시다.

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$ 이므로,

$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OQ}-(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OE})$ 가 됩니다.

여기서 $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OE}$ 를 만족하는 새로운 점 $P^{\prime }$를 생각해 봅시다.

그러면 주어진 식은 $|\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{O{P}^{\prime }}{|}^2=|\overrightarrow{P^{\prime }Q}{|}^2$ 이 되어, 점 $P^{\prime }$와 점 $Q$ 사이의 거리의 제곱을 의미하게 됩니다.

step2. 점 $P^{\prime }$가 그리는 도형 $T_1$ 파악하기

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OE}$ 에서 $\overrightarrow{OE}=(-4,2)$ 이므로,

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}-(-4,2)=\overrightarrow{OP}+(4,-2)$ 입니다.

즉, 점 $P^{\prime }$는 점 $P$를 $x$축 방향으로 $4$, $y$축 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 점입니다.

점 $P$는 삼각형 $AOB$의 변 위를 움직이므로, 삼각형 $AOB$의 세 꼭짓점 $O(0,0),B(8,0),A(0,8)$을 각각 평행이동해 봅니다.

$O(0,0)\to O^{\prime }(4,-2)$

$B(8,0)\to B^{\prime }(12,-2)$

$A(0,8)\to A^{\prime }(4,6)$

따라서 점 $P^{\prime }$가 그리는 도형 $T_1$은 세 점 $O^{\prime },B^{\prime },A^{\prime }$을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 내부가 아닌 '경계(변)'입니다.

step3. 점 $Q$가 그리는 도형 $T_2$ 파악하기

점 $Q$는 삼각형 $CDB$의 변 위를 움직입니다.

삼각형 $CDB$의 세 꼭짓점은 $C(7,1),D(7,0),B(8,0)$ 입니다.

점 $Q$가 그리는 도형 $T_2$는 이 삼각형의 경계입니다.

좌표평면에 $T_1$과 $T_2$를 그려보면, $T_2$는 $T_1$이 이루는 커다란 직각이등변삼각형의 안쪽에 위치하고 있음을 알 수 있습니다.

step4. 최댓값 $M$ 구하기

두 다각형의 경계 위의 점들 사이의 거리가 최대가 되는 경우는 각 다각형의 꼭짓점끼리 연결했을 때 발생합니다.

$T_1$의 꼭짓점: $O^{\prime }(4,-2),B^{\prime }(12,-2),A^{\prime }(4,6)$

$T_2$의 꼭짓점: $C(7,1),D(7,0),B(8,0)$

가장 멀리 떨어져 보이는 점들의 거리의 제곱을 계산해 봅니다.

- $A^{\prime }(4,6)$과 $B(8,0)$ 사이의 거리의 제곱: $(8-4{)}^2+(0-6{)}^2=16+36=52$

- $A^{\prime }(4,6)$과 $D(7,0)$ 사이의 거리의 제곱: $(7-4{)}^2+(0-6{)}^2=9+36=45$

- $B^{\prime }(12,-2)$와 $C(7,1)$ 사이의 거리의 제곱: $(7-12{)}^2+(1-(-2){)}^2=25+9=34$

계산 결과, 최댓값은 $A^{\prime }$와 $B$ 사이의 거리의 제곱인 $52$입니다.

따라서 $M=52$ 입니다.

step5. 최솟값 $m$ 구하기

두 도형 사이의 거리가 최소가 되는 곳을 찾아야 합니다.

$T_1$의 빗변 $A^{\prime }{B}^{\prime }$의 방정식은 기울기가 $-1$이고 $(4,6)$을 지나므로 $y-6=-(x-4)$, 즉 $x+y=10$ 입니다.

$T_2$의 빗변 $CB$의 방정식은 기울기가 $-1$이고 $(8,0)$을 지나므로 $y-0=-(x-8)$, 즉 $x+y=8$ 입니다.

두 빗변은 서로 평행합니다. $T_2$가 $T_1$ 안쪽에 있으므로, 이 두 평행한 선분 사이의 거리가 전체 도형 사이의 최단 거리가 됩니다.

두 평행한 직선 $x+y-10=0$ 과 $x+y-8=0$ 사이의 거리는

$\frac{|-10-(-8)|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ 입니다.

이때 수선의 발이 선분 위에 존재하는지 확인해보면, $T_2$의 빗변의 $x$ 범위는 $[7,8]$이고 $T_1$의 빗변의 $x$ 범위는 $[4,12]$이므로 충분히 포함됩니다.

따라서 거리의 최솟값은 $\sqrt{2}$ 이고, 거리의 제곱의 최솟값 $m=(\sqrt{2}{)}^2=2$ 입니다.

최종적으로 $M+m=52+2=54$ 입니다.

step1. 벡터 식 변형

$|\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{OE}{|}^2=|\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OE}{|}^2=|\overrightarrow{OQ}-(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OE}){|}^2$

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OE}$ 라 하면, 구하는 값은 $|\overrightarrow{P^{\prime }Q}{|}^2$

step2. 점 $P^{\prime }$의 자취 $T_1$

$\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}-(-4,2)=\overrightarrow{OP}+(4,-2)$

--- $P$는 $△AOB$의 경계 위 점이므로, $P^{\prime }$는 이를 $x$축으로 $4$, $y$축으로 $-2$만큼 평행이동한 도형 $T_1$ 위의 점.

$T_1$의 꼭짓점: $O^{\prime }(4,-2),B^{\prime }(12,-2),A^{\prime }(4,6)$

step3. 점 $Q$의 자취 $T_2$

--- $Q$는 $△CDB$의 경계 위 점이므로, 자취 $T_2$의 꼭짓점은 $C(7,1),D(7,0),B(8,0)$

step4. 최댓값 $M$

--- 최댓값은 두 도형의 꼭짓점 사이의 거리 중 하나.

$|A^{\prime }B{|}^2=(8-4{)}^2+(0-6{)}^2=16+36=52$

--- 다른 꼭짓점 쌍의 거리 제곱을 비교해보면 $52$가 최대.

$\therefore M=52$

step5. 최솟값 $m$

$T_1$의 빗변 $A^{\prime }{B}^{\prime }$의 방정식: $x+y=10$ $(4\le x\le 12)$

$T_2$의 빗변 $CB$의 방정식: $x+y=8$ $(7\le x\le 8)$

--- $T_2$가 $T_1$ 내부에 위치하므로, 최단 거리는 두 평행한 빗변 사이의 거리.

$d=\frac{|10-8|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$

$\therefore m=d^2=2$

$\therefore M+m=52+2=54$