수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 도형 C₁이 포함된 평면의 방정식 구하기

점 P의 좌표를 $(x,y,z)$라고 합시다.

삼각형 APO는 $\angle \text{APO}=\frac{\pi }{2}$인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 ${\overline{OP}}^2+{\overline{AP}}^2={\overline{OA}}^2$가 성립합니다.

${\overline{OP}}^2=x^2+y^2+z^2$

${\overline{AP}}^2=(x-a{)}^2+y^2+z^2$

${\overline{OA}}^2=a^2$

이를 대입하면 $x^2+y^2+z^2+(x-a{)}^2+y^2+z^2=a^2$이 됩니다.

전개하여 정리하면 $2x^2-2ax+a^2+2y^2+2z^2=a^2$, 즉 $x^2-ax+y^2+z^2=0$이 됩니다.

점 P는 구 $S:x^2+y^2+z^2=100$ 위의 점이기도 하므로, 두 식을 연립할 수 있습니다.

$x^2+y^2+z^2=100$을 $x^2-ax+y^2+z^2=0$에 대입하면 $100-ax=0$이 되어 $x=\frac{100}{a}$가 됩니다.

따라서 도형 $C_1$은 구 $S$와 평면 $x=\frac{100}{a}$가 만나서 생기는 원입니다.

step2. 도형 C₂가 포함된 평면의 방정식 구하기

마찬가지로 점 Q의 좌표를 $(x,y,z)$라고 하면, 직각삼각형 BQO에서 ${\overline{OQ}}^2+{\overline{BQ}}^2={\overline{OB}}^2$가 성립합니다.

$x^2+y^2+z^2+x^2+(y-10\sqrt{2}{)}^2+z^2=(10\sqrt{2}{)}^2=200$

$2x^2+2y^2-20\sqrt{2}y+200+2z^2=200$

$x^2+y^2-10\sqrt{2}y+z^2=0$

점 Q 역시 구 $S$ 위의 점이므로 $x^2+y^2+z^2=100$을 대입하면 $100-10\sqrt{2}y=0$이 되어 $y=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$가 됩니다.

따라서 도형 $C_2$는 구 $S$와 평면 $y=5\sqrt{2}$가 만나서 생기는 원입니다.

step3. 교점 N₁, N₂의 좌표 설정하기

두 도형 $C_1,C_2$가 만나는 점 $N_1,N_2$는 구 $S$ 위에 있으면서 동시에 $x=\frac{100}{a}$와 $y=5\sqrt{2}$를 만족해야 합니다.

이를 구 $S$의 방정식에 대입하여 $z$좌표를 구해봅시다.

$(\frac{100}{a}{)}^2+(5\sqrt{2}{)}^2+z^2=100$

$\frac{10000}{a^2}+50+z^2=100$

$z^2=50-\frac{10000}{a^2}$

여기서 $z$값을 하나만 구하고 넘어가면 안 됩니다. 제곱근을 풀면 양수와 음수 두 개의 값이 나오며, 이것이 바로 두 교점 $N_1,N_2$의 $z$좌표가 됩니다.

편의상 $z_0=\sqrt{50-\frac{10000}{a^2}}$라고 하면, 두 점의 좌표는 $N_1(\frac{100}{a},5\sqrt{2},z_0)$와 $N_2(\frac{100}{a},5\sqrt{2},-z_0)$가 됩니다.

step4. 코사인 법칙을 이용하여 a의 값 계산하기

삼각형 $O{N}_1{N}_2$를 생각해봅시다.

두 점 $N_1,N_2$는 구 $S$ 위의 점이므로 $\overline{O{N}_1}=\overline{O{N}_2}=10$ (구의 반지름)입니다.

두 점 사이의 거리는 $z$좌표의 차이이므로 $\overline{N_1{N}_2}=2z_0$입니다.

문제에서 $\cos (\angle N_{1}O{N}_2)=\frac{3}{5}$라고 주어졌으므로, 코사인 법칙을 적용합니다.

${\overline{N_1{N}_2}}^2={\overline{O{N}_1}}^2+{\overline{O{N}_2}}^2-2·\overline{O{N}_1}·\overline{O{N}_2}·\cos (\angle N_{1}O{N}_2)$

$(2z_0{)}^2={10}^2+{10}^2-2·10·10·\frac{3}{5}$

$4z_0^2=100+100-120=80$

$z_0^2=20$

앞서 구한 $z_0^2=50-\frac{10000}{a^2}$에 대입하면,

$50-\frac{10000}{a^2}=20$

$\frac{10000}{a^2}=30$

$a^2=\frac{10000}{30}=\frac{1000}{3}$

$a>0$이므로 $a=\frac{10\sqrt{10}}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{30}}{3}$이 됩니다.

이는 조건 $a>10\sqrt{2}$를 만족합니다.

step1. 도형 $C_1$이 포함된 평면의 방정식

$P(x,y,z)$에 대해 $O{P}^2+A{P}^2=O{A}^2$

$x^2+y^2+z^2+(x-a{)}^2+y^2+z^2=a^2$

$x^2-ax+y^2+z^2=0$

--- $x^2+y^2+z^2=100$이므로

$100-ax=0⟹x=\frac{100}{a}$

step2. 도형 $C_2$가 포함된 평면의 방정식

$Q(x,y,z)$에 대해 $O{Q}^2+B{Q}^2=O{B}^2$

$x^2+y^2+z^2+x^2+(y-10\sqrt{2}{)}^2+z^2=200$

$x^2+y^2-10\sqrt{2}y+z^2=0$

--- $x^2+y^2+z^2=100$이므로

$100-10\sqrt{2}y=0⟹y=5\sqrt{2}$

step3. 교점 $N_1,N_2$의 좌표 설정

$x^2+y^2+z^2=100$에 대입

$\frac{10000}{a^2}+50+z^2=100⟹z^2=50-\frac{10000}{a^2}$

$N_1,N_2$의 $z$좌표를 $\pm z_0$라 하면 $N_1{N}_2=2z_0$

step4. $a$의 값 계산

$△O{N}_1{N}_2$에서 코사인 법칙 적용

$(2z_0{)}^2={10}^2+{10}^2-2·10·10·\frac{3}{5}$

$4z_0^2=80⟹z_0^2=20$

$50-\frac{10000}{a^2}=20⟹\frac{10000}{a^2}=30$

$a^2=\frac{1000}{3}⟹a=\frac{10\sqrt{30}}{3}$

$\therefore ①$