수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 함수 $f(x)$의 대칭성과 교점 파악하기

먼저 함수 $f(x)$의 식을 살펴볼게요. $x<0$일 때 $f(x)=-x^2-2x+6$이고, $x\ge 0$일 때 $f(x)=-x^2+2x+6$이에요. $x>0$일 때 $f(-x)=-(-x{)}^2-2(-x)+6=-x^2+2x+6=f(x)$가 되므로, $f(x)$는 $y$축에 대하여 대칭인 우함수라는 것을 알 수 있어요.

이제 $x$축과의 교점인 P와 Q의 $x$좌표를 구해볼까요? $x\ge 0$에서 $-x^2+2x+6=0$을 풀면 근의 공식에 의해 $x=1\pm \sqrt{7}$이 나와요. $x\ge 0$이므로 $x=1+\sqrt{7}$이 점 Q의 $x$좌표가 됩니다. $y$축 대칭이므로 점 P의 $x$좌표는 $-1-\sqrt{7}$이 되겠죠.

step2. 넓이 $A$와 $B$를 정적분으로 표현하기

넓이 $A$는 구간 $[-1-\sqrt{7},1+\sqrt{7}]$에서 $f(x)$와 $x$축 사이의 넓이예요. $f(x)$가 $y$축 대칭이므로, $A=2{\int }_0^{1+\sqrt{7}}f(x)dx$로 간단히 쓸 수 있어요.

넓이 $B$는 구간 $[1+\sqrt{7},k]$에서 $f(x)$와 $x$축 사이의 넓이인데, 이 구간에서 $f(x)$의 그래프는 $x$축 아래에 있어요. 그래프가 $x$축 아래에 있으므로 넓이를 구할 때는 정적분 값에 마이너스를 붙여야 한다는 점을 놓치기 쉬워요. 따라서 $B=-{\int }_{1+\sqrt{7}}^{k}f(x)dx$가 됩니다.

step3. $A=2B$ 조건을 이용하여 식 합치기

문제에서 $A=2B$라고 했으므로, 우리가 구한 식을 대입해 볼게요.

$2{\int }_0^{1+\sqrt{7}}f(x)dx=2(-{\int }_{1+\sqrt{7}}^{k}f(x)dx)$

양변을 2로 나누고 우변을 좌변으로 이항하면,

${\int }_0^{1+\sqrt{7}}f(x)dx+{\int }_{1+\sqrt{7}}^{k}f(x)dx=0$이 됩니다.

정적분의 성질에 의해 꼬리에 꼬리를 무는 구간을 하나로 합칠 수 있어요. 따라서 ${\int }_0^{k}f(x)dx=0$이라는 아주 간단한 식을 얻게 됩니다!

step4. 정적분 계산하여 $k$ 값 구하기

이제 ${\int }_0^{k}f(x)dx=0$을 계산해 봅시다. 구간 $[0,k]$에서 $f(x)=-x^2+2x+6$이므로,

${\int }_0^k(-x^2+2x+6)dx={[-\frac{1}{3}{x}^3+x^2+6x]}_0^k=-\frac{1}{3}{k}^3+k^2+6k=0$이 됩니다.

양변에 $-3$을 곱하면 $k^3-3k^2-18k=0$이고, $k$로 묶으면 $k(k^2-3k-18)=0$이 되죠.

이차식을 인수분해하면 $k(k-6)(k+3)=0$이 됩니다.

문제에서 $k>4$라고 했으므로, 조건을 만족하는 $k$의 값은 $6$입니다.

step1. 함수 $f(x)$의 대칭성과 교점 파악하기

$f(-x)=-(-x{)}^2-2(-x)+6=-x^2+2x+6=f(x)$   --- $x>0$

$f(x)$는 $y$축 대칭

$x\ge 0$에서 $-x^2+2x+6=0⟹x=1+\sqrt{7}$

step2. 넓이 $A$와 $B$를 정적분으로 표현하기

$A={\int }_{-1-\sqrt{7}}^{1+\sqrt{7}}f(x)dx=2{\int }_0^{1+\sqrt{7}}f(x)dx$

$B=-{\int }_{1+\sqrt{7}}^{k}f(x)dx$

step3. $A=2B$ 조건을 이용하여 식 합치기

$2{\int }_0^{1+\sqrt{7}}f(x)dx=-2{\int }_{1+\sqrt{7}}^{k}f(x)dx$

${\int }_0^{1+\sqrt{7}}f(x)dx+{\int }_{1+\sqrt{7}}^{k}f(x)dx=0$

${\int }_0^{k}f(x)dx=0$

step4. 정적분 계산하여 $k$ 값 구하기

${\int }_0^k(-x^2+2x+6)dx={[-\frac{1}{3}{x}^3+x^2+6x]}_0^k=0$

$-\frac{1}{3}{k}^3+k^2+6k=0$

$k^2-3k-18=0$   --- $k>4$이므로

$(k-6)(k+3)=0$

$\therefore k=6$