(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]

시그마 기호 안에

k a_{k}

와

k a_{k + 1}

이 있어서 복잡해 보이죠? 이럴 때는 시그마의 성질을 이용해 식을 변형하려고 애쓰기보다는, 시그마의 원래 의미대로

k = 1

부터 차례대로 대입해서 식을 쭉 펼쳐보는 것이 가장 확실한 방법이에요. 두 식을 펼쳐서 위아래로 비교해보면 놀라운 규칙이 보일 거예요.

step1. 첫 번째 시그마 식 나열하기

먼저 $\sum_{k = 1}^{10} k a_{k} = 36$ 이 식을 나열해 볼게요.

$k$ 에 $1$ 부터 $10$ 까지 차례대로 대입해서 더하면 됩니다.

$1 \cdot a_{1} + 2 \cdot a_{2} + 3 \cdot a_{3} + \dots + 10 \cdot a_{10} = 36$ ... (기억)

step2. 두 번째 시그마 식 나열하기

이번에는 $\sum_{k = 1}^{9} k a_{k + 1} = 7$ 이 식을 나열해 볼까요?

여기서는 $k$ 가 $1$ 부터 $9$ 까지만 변하고, 수열의 항이 $a_{k + 1}$ 이라는 점을 놓치기 쉽습니다.

$k = 1$ 일 때는 $1 \cdot a_{2}$ , $k = 2$ 일 때는 $2 \cdot a_{3}$ 이 되겠죠?

$1 \cdot a_{2} + 2 \cdot a_{3} + 3 \cdot a_{4} + \dots + 9 \cdot a_{10} = 7$ ... (니은)

step3. 두 식을 빼서 정답 구하기

이제 (기억) 식에서 (니은) 식을 빼볼게요. 같은 항끼리 묶어서 계산하면 아주 깔끔해집니다.

두 식을 위아래로 나란히 두고 같은 $a_{n}$ 항끼리 빼주면 계수가 모두 1이 되는 것을 발견하는 것이 이 문제의 핵심입니다.

$(1 a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10}) - (1 a_{2} + 2 a_{3} + \dots + 9 a_{10})$

$= 1 a_{1} + (2 - 1) a_{2} + (3 - 2) a_{3} + \dots + (10 - 9) a_{10}$

$= a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{10}$

어라? 계산 결과가 우리가 구하고 싶은 $\sum_{k = 1}^{10} a_{k}$ 와 똑같아졌네요!

따라서 $\sum_{k = 1}^{10} a_{k} = 36 - 7 = 29$ 가 됩니다.

step1. 첫 번째 시그마 식 나열하기

$\sum_{k = 1}^{10} k a_{k} = a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10} = 36$

step2. 두 번째 시그마 식 나열하기

$\sum_{k = 1}^{9} k a_{k + 1} = a_{2} + 2 a_{3} + 3 a_{4} + \dots + 9 a_{10} = 7$

step3. 두 식을 빼서 정답 구하기

위의 두 식을 변끼리 빼면,

$(a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 10 a_{10}) - (a_{2} + 2 a_{3} + \dots + 9 a_{10})$

$= a_{1} + (2 - 1) a_{2} + (3 - 2) a_{3} + \dots + (10 - 9) a_{10}$

$= a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{10}$

$= \sum_{k = 1}^{10} a_{k}$

--- 두 식의 차가 구하고자 하는 값과 같으므로

$∴ \sum_{k = 1}^{10} a_{k} = 36 - 7 = 29$

수학여정 - 문제 분석 리포트