수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 역함수 정적분의 성질 적용하기

먼저 함수 $g(x)=f^{\prime }(2x)\sin \pi x+x$ 에 $x=0$과 $x=1$을 대입해 볼게요.

$g(0)=f^{\prime }(0)\sin 0+0=0$

$g(1)=f^{\prime }(2)\sin \pi +1=1$

역함수의 정적분 성질에 의하면, ${\int }_0^{1}g(x)dx+{\int }_{g(0)}^{g(1)}{g}^{-1}(x)dx=1\times 1-0\times 0$ 이 성립해요.

따라서 ${\int }_0^{1}g(x)dx+{\int }_0^1{g}^{-1}(x)dx=1$ 이 되고, 이를 정리하면

${\int }_0^1{g}^{-1}(x)dx=1-{\int }_0^{1}g(x)dx$ 가 됩니다.

step2. 주어진 조건식과 연립하여 정적분 값 구하기

이제 ${\int }_0^{1}g(x)dx$ 를 직접 계산해 봅시다.

${\int }_0^{1}g(x)dx={\int }_0^1(f^{\prime }(2x)\sin \pi x+x)dx$

$={\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx+{\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1$

$={\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx+\frac{1}{2}$

여기서 뒤에 있는 $+x$ 를 적분하는 것을 깜빡하기 쉬우니 조심해야 해요.

이 결과를 step1의 식에 대입하면,

${\int }_0^1{g}^{-1}(x)dx=1-({\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-{\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx$ 가 됩니다.

문제에서 주어진 조건식이 ${\int }_0^1{g}^{-1}(x)dx=2{\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx+\frac{1}{4}$ 이므로, 두 식을 같다고 놓을 수 있어요.

$\frac{1}{2}-{\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx=2{\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx+\frac{1}{4}$

이항해서 정리하면,

$3{\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx=\frac{1}{4}$

따라서 ${\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx=\frac{1}{12}$ 이 됩니다.

step3. 치환적분법으로 적분 구간 맞추기

우리가 최종적으로 구해야 하는 식은 적분 구간이 $[0,2]$입니다. 방금 구한 식의 구간을 맞추기 위해 $2x=t$ 로 치환적분을 해볼게요.

$2x=t$ 양변을 미분하면 $2dx=dt$ 이므로 $dx=\frac{1}{2}dt$ 가 됩니다.

적분 구간은 $x=0$ 일 때 $t=0$, $x=1$ 일 때 $t=2$ 로 바뀝니다.

${\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx={\int }_0^2{f}^{\prime }(t)\sin (\pi ·\frac{t}{2})·\frac{1}{2}dt$

$=\frac{1}{2}{\int }_0^2{f}^{\prime }(t)\sin \frac{\pi }{2}tdt=\frac{1}{12}$

양변에 2를 곱해주면,

${\int }_0^2{f}^{\prime }(t)\sin \frac{\pi }{2}tdt=\frac{1}{6}$ 이 됩니다.

step4. 부분적분법으로 최종 정답 도출하기

이제 목표 식인 ${\int }_0^{2}f(x)\cos \frac{\pi }{2}xdx$ 를 만들기 위해 부분적분법을 사용할 차례입니다.

${\int }_0^2{f}^{\prime }(t)\sin \frac{\pi }{2}tdt$ 에서

$u=\sin \frac{\pi }{2}t$, $v^{\prime }=f^{\prime }(t)$ 로 두면,

$u^{\prime }=\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}t$, $v=f(t)$ 가 됩니다.

부분적분 공식에 대입하면,

${\int }_0^2{f}^{\prime }(t)\sin \frac{\pi }{2}tdt={[f(t)\sin \frac{\pi }{2}t]}_0^2-{\int }_0^{2}f(t)·\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}tdt$

여기서 앞부분의 경계값을 계산해보면,

$f(2)\sin \pi -f(0)\sin 0=f(2)·0-f(0)·0=0$ 이 됩니다. ($f(x)$의 값과 무관하게 $\sin$ 값이 0이 되기 때문이죠.)

따라서 남은 식은 다음과 같습니다.

$-\frac{\pi }{2}{\int }_0^{2}f(t)\cos \frac{\pi }{2}tdt=\frac{1}{6}$

양변에 $-\frac{2}{\pi }$ 를 곱해주면,

${\int }_0^{2}f(t)\cos \frac{\pi }{2}tdt=\frac{1}{6}\times (-\frac{2}{\pi })=-\frac{1}{3\pi }$

변수 $t$를 다시 $x$로 적어도 정적분 값은 같으므로, 우리가 찾는 정답은 $-\frac{1}{3\pi }$ 입니다.

step1. 역함수 정적분의 성질 적용하기

$g(0)=0,g(1)=1$

${\int }_0^{1}g(x)dx+{\int }_0^1{g}^{-1}(x)dx=1$

${\int }_0^1{g}^{-1}(x)dx=1-{\int }_0^1(f^{\prime }(2x)\sin \pi x+x)dx$

step2. 주어진 조건식과 연립하여 정적분 값 구하기

${\int }_0^1{g}^{-1}(x)dx=1-{\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}-{\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx=2{\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx+\frac{1}{4}$

$3{\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx=\frac{1}{4}⟹{\int }_0^1{f}^{\prime }(2x)\sin \pi xdx=\frac{1}{12}$

step3. 치환적분법으로 적분 구간 맞추기

--- $2x=t$ 로 치환하면

$\frac{1}{2}{\int }_0^2{f}^{\prime }(t)\sin \frac{\pi }{2}tdt=\frac{1}{12}$

${\int }_0^2{f}^{\prime }(t)\sin \frac{\pi }{2}tdt=\frac{1}{6}$

step4. 부분적분법으로 최종 정답 도출하기

--- 부분적분법을 적용하면

${[f(t)\sin \frac{\pi }{2}t]}_0^2-\frac{\pi }{2}{\int }_0^{2}f(t)\cos \frac{\pi }{2}tdt=\frac{1}{6}$

$0-\frac{\pi }{2}{\int }_0^{2}f(t)\cos \frac{\pi }{2}tdt=\frac{1}{6}$

${\int }_0^{2}f(t)\cos \frac{\pi }{2}tdt=-\frac{1}{3\pi }$

$\therefore ③$