수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 구간별 f(x) 정의 및 부정적분 구하기

먼저 절댓값을 풀어 $f(x)$를 두 구간으로 나눌게요.

$x<0$일 때: $f(x)=(k-(-x))e^{-x}=(x+k)e^{-x}$

$x\ge 0$일 때: $f(x)=(k-x)e^{-x}=(-x+k)e^{-x}$

이제 각각을 부분적분법을 이용해 적분하여 $F(x)$를 구해봅시다.

$x<0$일 때:

$F_1(x)=\int (x+k)e^{-x}dx$

$u=x+k,v^{\prime }=e^{-x}$로 두면 $u^{\prime }=1,v=-e^{-x}$가 되죠.

$F_1(x)=-(x+k)e^{-x}-\int (-e^{-x})dx=-(x+k)e^{-x}-e^{-x}+C_1=-(x+k+1)e^{-x}+C_1$

$x\ge 0$일 때:

$F_2(x)=\int (-x+k)e^{-x}dx$

$u=-x+k,v^{\prime }=e^{-x}$로 두면 $u^{\prime }=-1,v=-e^{-x}$입니다.

$F_2(x)=-(-x+k)e^{-x}-\int e^{-x}dx=(x-k)e^{-x}+e^{-x}+C_2=(x-k+1)e^{-x}+C_2$

step2. F(x)의 연속성을 이용한 적분상수 통일

$F(x)$는 실수 전체에서 미분가능하다고 했으므로, 당연히 $x=0$에서 연속이어야 해요.

즉, $x=0$에서의 좌극한과 우극한(함숫값)이 같아야 합니다.

$F_1(0)=-(0+k+1)e^0+C_1=-k-1+C_1$

$F_2(0)=(0-k+1)e^0+C_2=-k+1+C_2$

두 값이 같아야 하므로:

$-k-1+C_1=-k+1+C_2⟹C_1=C_2+2$

계산을 편하게 하기 위해 $C_2=C$라고 둘게요. 그러면 $C_1=C+2$가 됩니다.

우리가 구해야 하는 $g(k)$는 $F(0)$의 최솟값이에요.

$F(0)=F_2(0)=-k+1+C$ 이므로, $F(0)$가 최소가 되려면 적분상수 $C$가 가질 수 있는 가장 작은 값을 찾아야 합니다.

step3. x < 0 구간에서 부등식 조건 분석

이제 $F(x)\ge f(x)$ 조건을 분석해볼게요. $h(x)=F(x)-f(x)$라 두고, $h(x)\ge 0$이 되도록 만들어봅시다.

$x<0$일 때:

$h_1(x)=F_1(x)-f(x)=\{-(x+k+1)e^{-x}+C+2\}-(x+k)e^{-x}$

$=-(2x+2k+1)e^{-x}+C+2$

이 함수의 최솟값을 찾기 위해 미분을 해볼게요.

$h_1^{\prime }(x)=-2e^{-x}-(-(2x+2k+1))e^{-x}=(2x+2k-1)e^{-x}$

$h_1^{\prime }(x)=0$이 되는 점은 $x=-k+\frac{1}{2}$ 입니다. 이 점에서 $h_1^{\prime }(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 극소점이에요.

여기서 $k$의 값에 따라 극소점의 위치가 달라지므로 경우를 나누어야 합니다.

Case 1) 극소점 $-k+\frac{1}{2}<0$ 인 경우 (즉, $k>\frac{1}{2}$)

$x<0$ 범위 안에 극소점이 있으므로, 여기서 최솟값을 가집니다.

$h_1(-k+\frac{1}{2})=-2e^{k-1/2}+C+2\ge 0⟹C\ge 2e^{k-1/2}-2$

Case 2) 극소점 $-k+\frac{1}{2}\ge 0$ 인 경우 (즉, $0<k\le \frac{1}{2}$)

$x<0$ 범위에서 $h_1(x)$는 계속 감소만 합니다. 따라서 $x$가 0에 한없이 가까워질 때가 가장 작은 값이 되겠죠.

$h_1(0)=-2k+1+C\ge 0⟹C\ge 2k-1$

step4. x >= 0 구간에서 부등식 조건 분석

$x\ge 0$일 때도 같은 방법으로 분석해봅시다.

$h_2(x)=F_2(x)-f(x)=\{(x-k+1)e^{-x}+C\}-(-x+k)e^{-x}$

$=(2x-2k+1)e^{-x}+C$

미분해볼까요?

$h_2^{\prime }(x)=2e^{-x}-(2x-2k+1)e^{-x}=(-2x+2k+1)e^{-x}$

$h_2^{\prime }(x)=0$이 되는 점은 $x=k+\frac{1}{2}$ 입니다. $k>0$이므로 이 점은 항상 양수 구간에 있어요.

여기서 $x=k+\frac{1}{2}$를 극소점이라고 착각하고 대입하면 안 됩니다!

$h_2^{\prime }(x)$의 식을 보면 $x$가 커질수록 부호가 양수에서 음수로 바뀝니다. 즉, 이 점은 극대점이에요!

따라서 $h_2(x)$는 증가하다가 감소하는 형태이므로, 최솟값은 양 끝점인 $x=0$일 때와 $x\to \infty$일 때 발생합니다.

끝점 1: $x=0$일 때

$h_2(0)=-2k+1+C\ge 0⟹C\ge 2k-1$

끝점 2: $x\to \infty$일 때

문제 조건에서 ${lim}_{x\to \infty }x{e}^{-x}=0$이라고 했으므로, ${lim}_{x\to \infty }{h}_2(x)=C$가 됩니다.

따라서 $C\ge 0$이어야 합니다.

step5. g(k) 도출 및 정답 계산

이제 구한 $C$의 조건들을 종합해볼게요.

1) $0<k\le \frac{1}{2}$일 때:

$C\ge 2k-1$ 이고 $C\ge 0$ 이어야 합니다.

그런데 $k\le \frac{1}{2}$이면 $2k-1\le 0$이므로, 더 엄격한 조건은 $C\ge 0$이 됩니다.

따라서 $C$의 최솟값은 0이고, $g(k)=-k+1+0=-k+1$ 입니다.

2) $k>\frac{1}{2}$일 때:

$C\ge 2e^{k-1/2}-2$, $C\ge 2k-1$, $C\ge 0$ 을 모두 만족해야 합니다.

$k>\frac{1}{2}$이면 $2e^{k-1/2}-2$가 0보다 크고 $2k-1$보다도 큽니다. 따라서 가장 엄격한 조건은 $C\ge 2e^{k-1/2}-2$가 됩니다.

따라서 $C$의 최솟값은 $2e^{k-1/2}-2$이고, $g(k)=-k+1+(2e^{k-1/2}-2)=2e^{k-1/2}-k-1$ 입니다.

이제 문제에서 요구한 값을 계산해봅시다.

$k=\frac{1}{4}$은 $\frac{1}{2}$보다 작으므로 첫 번째 식에 대입:

$g\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}$

$k=\frac{3}{2}$은 $\frac{1}{2}$보다 크므로 두 번째 식에 대입:

$g\left(\frac{3}{2}\right)=2e^{3/2-1/2}-\frac{3}{2}-1=2e-\frac{5}{2}$

두 값을 더하면:

$g\left(\frac{1}{4}\right)+g\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{4}+2e-\frac{5}{2}=2e-\frac{7}{4}$

이 값이 $pe+q$와 같으므로 $p=2,q=-\frac{7}{4}$ 입니다.

최종적으로 $100(p+q)=100(2-\frac{7}{4})=100\times \frac{1}{4}=25$가 됩니다.

step1. F(x) 구하기

$x<0:f(x)=(x+k)e^{-x}⟹F_1(x)=-(x+k+1)e^{-x}+C_1$

$x\ge 0:f(x)=(-x+k)e^{-x}⟹F_2(x)=(x-k+1)e^{-x}+C_2$

step2. 연속성

$F_1(0)=F_2(0)⟹-k-1+C_1=-k+1+C_2⟹C_1=C_2+2$

$C_2=C$라 하면 $F(0)=-k+1+C$.   --- $C$의 최솟값 필요

step3. & 4. F(x) >= f(x) 조건

$x<0:h_1(x)=-(2x+2k+1)e^{-x}+C+2\ge 0$

--- $h_1^{\prime }(x)=(2x+2k-1)e^{-x}=0$에서 $x=-k+1/2$ (극소)

$x\ge 0:h_2(x)=(2x-2k+1)e^{-x}+C\ge 0$

--- $h_2^{\prime }(x)=(-2x+2k+1)e^{-x}=0$에서 $x=k+1/2$ (극대)

--- 극대이므로 양 끝점 $x=0,x\to \infty$ 확인

$h_2(0)=-2k+1+C\ge 0⟹C\ge 2k-1$

${lim}_{x\to \infty }{h}_2(x)=C\ge 0⟹C\ge 0$

step5. g(k) 계산

$0<k\le 1/2$일 때: $x<0$에서 극소점 $>0$이므로 $h_1(0)\ge 0$ 적용.

$C\ge 2k-1,C\ge 0⟹C_{min}=0⟹g(k)=-k+1$

$k>1/2$일 때: $x<0$에서 극소점 $<0$이므로 $h_1(-k+1/2)\ge 0$ 적용.

$C\ge 2e^{k-1/2}-2⟹C_{min}=2e^{k-1/2}-2⟹g(k)=2e^{k-1/2}-k-1$

$g(1/4)=-1/4+1=3/4$

$g(3/2)=2e^1-3/2-1=2e-5/2$

합 = $2e-7/4⟹p=2,q=-7/4$

∴ $100(p+q)=25$