수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 양변 미분하기

주어진 식 $f(x)+f\left(\frac{1}{2}\sin x\right)=\sin x$ 의 양변을 $x$에 대하여 미분해 볼게요.

이때 $f\left(\frac{1}{2}\sin x\right)$는 합성함수이므로 겉미분과 속미분을 모두 해줘야 해요.

합성함수를 미분할 때 속미분인 ${\left(\frac{1}{2}\sin x\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cos x$ 를 곱하는 것을 빠뜨리기 쉬우니 조심하세요.

양변을 미분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

$f^{\prime }(x)+f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\sin x\right)·\frac{1}{2}\cos x=\cos x$

step2. $x=\pi$ 대입하기

우리가 구하고 싶은 값은 $f^{\prime }(\pi )$이므로, 방금 구한 도함수 식에 $x=\pi$를 대입해 봅니다.

$f^{\prime }(\pi )+f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\sin \pi \right)·\frac{1}{2}\cos \pi =\cos \pi$

여기서 $\sin \pi =0$ 이고 $\cos \pi =-1$ 이라는 것을 알고 있죠? 이를 대입하여 식을 정리해 볼게요.

$f^{\prime }(\pi )+f^{\prime }(0)·\frac{1}{2}(-1)=-1$

$f^{\prime }(\pi )-\frac{1}{2}{f}^{\prime }(0)=-1$

$f^{\prime }(\pi )$를 구하려다 보니 $f^{\prime }(0)$이라는 모르는 값이 등장했어요. 이럴 때는 당황하지 말고, 도함수 식에 $x=0$을 대입해서 $f^{\prime }(0)$을 직접 구해보는 것이 핵심입니다.

step3. $f^{\prime }(0)$ 구하기

$f^{\prime }(0)$의 값을 알아내기 위해, step1에서 구한 도함수 식에 이번에는 $x=0$을 대입해 봅니다.

$f^{\prime }(0)+f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\sin 0\right)·\frac{1}{2}\cos 0=\cos 0$

$\sin 0=0$ 이고 $\cos 0=1$ 이므로,

$f^{\prime }(0)+f^{\prime }(0)·\frac{1}{2}(1)=1$

$f^{\prime }(0)+\frac{1}{2}{f}^{\prime }(0)=1$

$\frac{3}{2}{f}^{\prime }(0)=1$

따라서 $f^{\prime }(0)=\frac{2}{3}$ 이 됩니다.

step4. $f^{\prime }(\pi )$ 계산하기

이제 step3에서 구한 $f^{\prime }(0)=\frac{2}{3}$ 을 step2에서 만들어둔 관계식에 대입하기만 하면 끝이에요.

$f^{\prime }(\pi )-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)=-1$

$f^{\prime }(\pi )-\frac{1}{3}=-1$

$f^{\prime }(\pi )=-1+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$

이렇게 해서 우리가 원하던 $f^{\prime }(\pi )$의 값을 무사히 구했습니다!

step1. 양변 미분하기

$f^{\prime }(x)+f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\sin x\right)·\frac{1}{2}\cos x=\cos x$

step2. $x=\pi$ 대입하기

$f^{\prime }(\pi )+f^{\prime }(0)·(-\frac{1}{2})=-1$

$f^{\prime }(\pi )-\frac{1}{2}{f}^{\prime }(0)=-1$

step3. $f^{\prime }(0)$ 구하기

--- $x=0$을 대입하면

$f^{\prime }(0)+f^{\prime }(0)·\frac{1}{2}=1$

$\frac{3}{2}{f}^{\prime }(0)=1⟹f^{\prime }(0)=\frac{2}{3}$

step4. $f^{\prime }(\pi )$ 계산하기

--- $f^{\prime }(0)$을 대입하면

$f^{\prime }(\pi )-\frac{1}{2}·\frac{2}{3}=-1$

$f^{\prime }(\pi )-\frac{1}{3}=-1$

$f^{\prime }(\pi )=-\frac{2}{3}$

$\therefore ②$