(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]

28. 빈 상자 4개가 일렬로 놓여 있고, 검은 공 4개, 흰 공 6개가 있다. 이 10개의 공을 상자에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수는? (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않고, 공이 들어 있지 않은 상자가 있을 수 있다.) [4점]
(가) 검은 공이 들어 있지 않은 상자의 개수는 2 이상이다.
(나) 검은 공이 들어 있는 상자에 들어 있는 흰 공의 개수는 1 이하이다.
① 580 ② 592 ③ 604 ④ 616 ⑤ 628

이 문제는 주어진 조건에 따라 검은 공이 들어가는 상자의 개수를 기준으로 경우를 나누고, 중복조합을 활용하여 흰 공을 분배하는 경우의 수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

- 빈 상자 4개가 일렬로 놓여 있음
- 검은 공 4개, 흰 공 6개가 있음 (같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않음)
- 공이 들어 있지 않은 상자가 있을 수 있음
- (가) 검은 공이 들어 있지 않은 상자의 개수는 2 이상이다.
- (나) 검은 공이 들어 있는 상자에 들어 있는 흰 공의 개수는 1 이하이다.

이 문제는 검은 공이 들어가는 상자의 개수를 기준으로 크게 두 가지 경우로 나누고, 각각에 대해 중복조합을 적용하여 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 조건 (가)를 해석하여 검은 공이 들어가는 상자의 개수를 기준으로 케이스를 나눕니다.

step2. 검은 공이 1개의 상자에만 들어가는 경우의 수를 구합니다.

step3. 검은 공이 2개의 상자에 들어가는 경우의 수를 구합니다.

step4. 두 경우의 수를 더하여 최종 정답을 도출합니다.

- 중복조합 : 서로 다른 $n$ 개에서 중복을 허락하여 $r$ 개를 택하는 경우의 수는 $_{n} H_{r} =_{n + r - 1} C_{r}$ 로 계산합니다. (방정식 $x + y + z = r$ 의 음이 아닌 정수해의 개수와 같습니다.)

조건 (가)에서 '검은 공이 없는 상자가 2개 이상'이라고 했어요. 상자가 총 4개니까, 반대로 생각하면 검은 공이 들어가는 상자는 기껏해야 1개 아니면 2개라는 뜻이겠죠? 이렇게 가장 특이한 조건이 걸려 있는 '검은 공'을 기준으로 먼저 상황을 쪼개는 것이 이 문제의 출발점이에요!

step1. 조건 (가) 해석 및 케이스 분류

먼저 조건 (가)를 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 볼게요. '검은 공이 들어 있지 않은 상자의 개수가 2 이상'이라는 말은, 전체 4개의 상자 중에서 검은 공이 들어 있는 상자의 개수는 2 이하라는 뜻과 완벽히 같아요.

따라서 우리는 다음 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있습니다.

- Case 1: 검은 공이 1개의 상자에만 들어가는 경우

- Case 2: 검은 공이 2개의 상자에 들어가는 경우

step2. Case 1: 검은 공이 1개의 상자에 들어가는 경우

먼저 4개의 상자 중 검은 공을 몰아넣을 상자 1개를 골라야 해요. 그 경우의 수는 $(\binom{4}{1}) = 4$ 가지입니다.

예를 들어 그 상자를 A라고 해볼게요. 상자 A에는 검은 공 4개가 모두 들어갔습니다.

이제 조건 (나)를 볼 차례예요. '검은 공이 들어 있는 상자에 들어 있는 흰 공의 개수는 1 이하'라고 했죠? 여기서 1 이하라는 말은 1개뿐만 아니라 '0개'도 가능하다는 점을 절대 놓치면 안 돼요!

1) 상자 A에 흰 공이 0개 들어가는 경우:

남은 흰 공 6개를 나머지 상자 B, C, D에 자유롭게 넣으면 됩니다. 빈 상자가 있어도 되므로 중복조합을 쓰면 돼요.

$_{3} H_{6} = (\binom{3 + 6 - 1}{6}) = (\binom{8}{6}) = (\binom{8}{2}) = 28$ 가지입니다.

2) 상자 A에 흰 공이 1개 들어가는 경우:

남은 흰 공 5개를 상자 B, C, D에 넣으면 됩니다.

$_{3} H_{5} = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = (\binom{7}{5}) = (\binom{7}{2}) = 21$ 가지입니다.

따라서 Case 1의 총 경우의 수는 $4 \times (28 + 21) = 4 \times 49 = 196$ 가지가 됩니다.

step3. Case 2: 검은 공이 2개의 상자에 들어가는 경우

이번에는 검은 공이 2개의 상자에 들어가는 경우입니다.

먼저 4개의 상자 중 검은 공이 들어갈 상자 2개를 고릅니다. $(\binom{4}{2}) = 6$ 가지예요.

예를 들어 상자 A와 B가 선택되었다고 해볼게요. 이 두 상자에는 검은 공이 적어도 1개씩은 들어가야 하므로, 4개의 검은 공을 나누는 방법은 (1개, 3개), (2개, 2개), (3개, 1개)로 총 3가지가 있습니다.

이제 흰 공을 분배해 볼까요? 조건 (나)에 의해 상자 A와 B에는 흰 공이 각각 0개 또는 1개만 들어갈 수 있어요. 상자 A와 B에 들어가는 흰 공의 개수를 순서쌍으로 나타내면 $(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)$ 이렇게 4가지 상황이 생깁니다.

1) $(0, 0)$ 인 경우 (흰 공 0개 사용):

남은 흰 공 6개를 상자 C, D에 넣습니다. $_{2} H_{6} = (\binom{7}{6}) = 7$ 가지.

2) $(0, 1)$ 또는 $(1, 0)$ 인 경우 (흰 공 1개 사용):

남은 흰 공 5개를 상자 C, D에 넣습니다. 각각 $_{2} H_{5} = (\binom{6}{5}) = 6$ 가지이므로, 총 $2 \times 6 = 12$ 가지.

3) $(1, 1)$ 인 경우 (흰 공 2개 사용):

남은 흰 공 4개를 상자 C, D에 넣습니다. $_{2} H_{4} = (\binom{5}{4}) = 5$ 가지.

이 세 가지 상황을 모두 더하면 흰 공을 분배하는 경우의 수는 $7 + 12 + 5 = 24$ 가지가 됩니다.

따라서 Case 2의 총 경우의 수는 (상자 선택) $\times$ (검은 공 분배) $\times$ (흰 공 분배) $= 6 \times 3 \times 24 = 432$ 가지입니다.

step4. 최종 정답 도출

우리가 구한 두 가지 케이스는 동시에 일어날 수 없는 배반사건이므로, 각각 구한 경우의 수를 더해주면 됩니다.

Case 1에서 196가지, Case 2에서 432가지가 나왔으므로,

총 경우의 수는 $196 + 432 = 628$ 가지입니다.

step1. 조건 (가) 해석 및 케이스 분류

검은 공이 없는 상자 $\geq 2$ $⟺$ 검은 공이 있는 상자 $\leq 2$

$∴$ 검은 공이 들어가는 상자는 1개 또는 2개

step2. Case 1: 검은 공이 1개의 상자에 들어가는 경우

상자 선택: $(\binom{4}{1}) = 4$

선택된 상자의 흰 공 개수(조건 나): 0개 또는 1개

--- 남은 흰 공을 나머지 3개 상자에 분배

흰 공 분배: $_{3} H_{6} +_{3} H_{5} = (\binom{8}{6}) + (\binom{7}{5}) = 28 + 21 = 49$

$∴ ④ \times 49 = 196$

step3. Case 2: 검은 공이 2개의 상자에 들어가는 경우

상자 선택: $(\binom{4}{2}) = 6$

검은 공 분배: (1,3), (2,2), (3,1) $\to 3$ 가지

선택된 두 상자의 흰 공 개수: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

--- 남은 흰 공을 나머지 2개 상자에 분배

흰 공 분배: $_{2} H_{6} + 2 \times_{2} H_{5} +_{2} H_{4} = (\binom{7}{6}) + 2 (\binom{6}{5}) + (\binom{5}{4}) = 7 + 12 + 5 = 24$

$∴ 6 \times 3 \times 24 = 432$

step4. 최종 정답 도출

$196 + 432 = 628$

$∴ 628$

🔒 막힌 이유

조건 (가)의 '검은 공이 들어 있지 않은 상자'라는 부정형 표현에 얽매여 케이스 분류의 기준을 잡지 못하고 헤맬 수 있습니다.
조건 (나)의 '1 이하'라는 표현을 적용할 때, 흰 공이 1개 들어가는 경우만 생각하고 0개 들어가는 경우를 누락하여 계산 실수가 발생하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

부정형 조건은 긍정형으로 바꾸어 해석해 보세요. '없는 상자가 2개 이상'은 전체 4개 중 '있는 상자가 2개 이하'라는 뜻이므로, 검은 공이 들어가는 상자가 1개일 때와 2개일 때로 명확히 나눌 수 있습니다.
'이하'라는 조건은 반드시 '0'을 포함한다는 점을 의식적으로 체크하며 꼼꼼하게 경우를 나누어 계산해야 합니다.
확률과 통계에서 복잡한 조건은 항상 '가장 제한이 강한 대상(여기서는 검은 공)'을 기준으로 먼저 큰 틀을 짜는 것이 유리합니다.

(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 고3 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 경우의 수 / 중복조합 / 조건이 있는 순열과 조합
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구