(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 수학 확통 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 이항정리의 일반항을 이용하여 특정 항의 계수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 이항정리를 이용하여 $(3 x + 1)^{5}$ 의 일반항을 구합니다.

step2. 일반항에서 $x^{2}$ 의 계수 $a$ 를 계산합니다.

step3. 일반항에서 $x^{3}$ 의 계수 $b$ 를 계산합니다.

step4. $a$ 와 $b$ 를 더하여 최종 답을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 이항정리 : $(a + b)^{n}$ 의 전개식에서 일반항은 $(\binom{n}{r}) a^{r} b^{n - r}$ (단, $r = 0, 1, \dots, n$ ) 입니다.

5. 구체적 풀이

다항식의 거듭제곱을 전개할 때 특정 항의 계수만 구하려면 이항정리의 일반항을 사용하는 것이 가장 빠르고 정확해요.

(3 x + 1)^{5}

에서

3 x

를 하나의 덩어리로 보고 일반항을 세워보세요.

step1. 일반항 구하기

이항정리를 이용하여 $(3 x + 1)^{5}$ 의 전개식에서 일반항을 세워봅니다.

일반항은 $(\binom{5}{r}) (3 x)^{r} (1)^{5 - r}$ 로 나타낼 수 있어요.

여기서 $1$ 의 거듭제곱은 항상 $1$ 이므로 생략할 수 있고, $(3 x)^{r} = 3^{r} x^{r}$ 이므로 식을 정리하면 다음과 같습니다.

일반항 = $(\binom{5}{r}) 3^{r} x^{r}$

$(3 x)^{r}$ 을 계산할 때 $3$ 을 빼먹고 $x^{r}$ 만 쓰는 실수를 하기 쉬우니 조심해야 해요.

step2. $x^{2}$ 의 계수 $a$ 구하기

우리가 구한 일반항 $(\binom{5}{r}) 3^{r} x^{r}$ 에서 $x^{2}$ 이 나오려면 $r = 2$ 가 되어야 합니다.

$r = 2$ 를 대입하면,

$(\binom{5}{2}) 3^{2} x^{2} = 10 \times 9 \times x^{2} = 90 x^{2}$

따라서 $x^{2}$ 의 계수 $a$ 는 $90$ 입니다.

일반항의 $x$ 지수를 원하는 차수와 같게 만드는 $r$ 값을 찾는 것이 포인트입니다.

step3. $x^{3}$ 의 계수 $b$ 구하기

마찬가지로 $x^{3}$ 이 나오려면 $r = 3$ 이 되어야 합니다.

$r = 3$ 을 대입하면,

$(\binom{5}{3}) 3^{3} x^{3} = 10 \times 27 \times x^{3} = 270 x^{3}$

따라서 $x^{3}$ 의 계수 $b$ 는 $270$ 입니다.

step4. $a + b$ 계산하기

구한 $a$ 와 $b$ 의 값을 더해줍니다.

$a + b = 90 + 270 = 360$

따라서 정답은 360이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 일반항 구하기

$(3 x + 1)^{5}$ 의 일반항: $(\binom{5}{r}) (3 x)^{r} (1)^{5 - r} = (\binom{5}{r}) 3^{r} x^{r}$

step2. $x^{2}$ 의 계수 $a$ 구하기

$r = 2$ 일 때, $a = (\binom{5}{2}) 3^{2} = 10 \times 9 = 90$

step3. $x^{3}$ 의 계수 $b$ 구하기

$r = 3$ 일 때, $b = (\binom{5}{3}) 3^{3} = 10 \times 27 = 270$

step4. $a + b$ 계산하기

$a + b = 90 + 270 = 360$

$∴ 360$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이항정리의 일반항 공식을 정확히 기억하지 못할 수 있습니다.
$(3 x)^{r}$ 을 전개할 때 $3^{r}$ 을 빼먹고 $x^{r}$ 의 계수를 $(\binom{5}{r})$ 로만 계산하는 실수를 하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

이항정리의 일반항 $(\binom{n}{r}) A^{r} B^{n - r}$ 을 떠올리고, $A = 3 x$ , $B = 1$ 을 대입하여 식을 정리합니다.
이때 $x$ 의 계수인 $3$ 도 거듭제곱해야 함을 잊지 않도록 주의합니다.
팁: 괄호 안의 항 전체를 하나의 문자로 생각하고 일반항에 대입하는 연습을 해보세요.

(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 고3 수학 확통 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 이항정리
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구