(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 수학 확통 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 남학생을 먼저 원탁에 앉히고, 여학생들을 그 사이 공간에 조건에 맞게 배치하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 조건에 맞게 여학생들이 어떻게 앉아야 하는지 분석합니다.

step2. 남학생 4명을 원탁에 앉히는 경우의 수를 구합니다.

step3. 여학생 3명을 2명, 1명의 두 묶음으로 나누는 경우의 수를 구합니다.

step4. 남학생 사이의 공간에 여학생 묶음을 배치하여 총 경우의 수를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 원순열 : 서로 다른 $n$ 개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $(n - 1)!$ 입니다.

- 순열 : 서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는 $_{n} P_{r} = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - r + 1)$ 입니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 '이웃한다', '이웃하지 않는다'의 변형 조건이에요. 여학생 3명 중 딱 1명만 양옆이 남학생이려면, 나머지 2명의 여학생은 적어도 한쪽 옆에 여학생이 있어야 해요. 즉, 여학생 3명이 모두 떨어져 앉아도 안 되고, 3명이 모두 붙어 앉아도 안 됩니다. 결론적으로 여학생 3명은 '2명 이웃', '1명 단독'으로 나뉘어 앉아야 한다는 것을 파악하는 것이 이 문제의 가장 중요한 열쇠입니다!

step1. 조건 분석하기

여학생 3명이 원탁에 앉을 때, 남학생들이 그 사이사이에 들어가는 모습을 상상해 봅시다.

만약 여학생 3명이 모두 떨어져 앉는다면, 세 여학생 모두 양옆이 남학생이 됩니다. (조건 불만족)

만약 여학생 3명이 모두 이웃하여 앉는다면, 가운데 여학생은 양옆이 여학생이고, 양 끝 여학생은 한쪽만 남학생이므로 양옆이 남학생인 여학생은 0명이 됩니다. (조건 불만족)

따라서 여학생 3명 중 2명은 이웃하고, 1명은 떨어져 앉아야만 단독으로 앉은 1명의 여학생만 양옆이 남학생이 됩니다.

step2. 남학생 4명을 원탁에 앉히기

조건이 없는 남학생을 먼저 원탁에 앉혀 기준을 잡아봅시다.

서로 다른 남학생 4명을 원탁에 앉히는 경우의 수는 원순열 공식에 따라 $(4 - 1)! = 3! = 6$ 가지입니다.

남학생 4명이 앉으면, 그 사이사이에 4개의 빈 공간이 생깁니다. 이 공간들에 여학생들을 배치할 거예요.

step3. 여학생 3명을 두 묶음으로 나누기

step1에서 파악했듯이 여학생 3명을 '2명', '1명'의 두 묶음으로 나누어야 합니다.

3명 중 2명을 선택하여 한 묶음으로 만드는 방법은 $(\binom{3}{2}) = 3$ 가지입니다.

이때 2명으로 묶인 여학생들끼리 서로 자리를 바꾸는 경우를 놓치기 쉽습니다.

2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2! = 2$ 가지이므로,

여학생을 두 묶음으로 나누고 자리까지 정하는 경우의 수는 $3 \times 2 = 6$ 가지입니다.

step4. 여학생 묶음을 남학생 사이 공간에 배치하기

이제 남학생 사이의 4개 공간 중 2개를 선택하여, 만들어둔 여학생 두 묶음을 배치합니다.

두 묶음은 서로 다르므로(2명 묶음, 1명 묶음), 순서를 고려하여 배치해야 합니다.

4개의 공간 중 2개를 선택하여 나열하는 경우의 수는 $_{4} P_{2} = 4 \times 3 = 12$ 가지입니다.

마지막으로 모든 단계의 경우의 수를 곱해주면,

총 경우의 수는 $6 \times 6 \times 12 = 432$ 가지가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 분석

여학생 3명 중 1명만 양옆이 남학생이려면,

여학생은 (2명 이웃), (1명 단독)으로 나뉘어 앉아야 함.

step2. 남학생 원탁 배치

남학생 4명을 원탁에 앉히는 경우의 수

$(4 - 1)! = 3! = 6$

step3. 여학생 묶음 만들기

여학생 3명을 2명, 1명으로 나누고 2명 자리 바꾸기

$_{3} C_{2} \times 2! = 3 \times 2 = 6$

step4. 여학생 배치 및 총 경우의 수

남학생 사이 4개의 공간 중 2곳에 여학생 묶음 배치

$_{4} P_{2} = 4 \times 3 = 12$

--- 남학생 배치, 여학생 묶음, 공간 배치를 모두 곱하면

$6 \times 6 \times 12 = 432$

$∴ 432$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

'자신과 이웃한 두 학생이 모두 남학생인 여학생의 수가 1'이라는 조건의 의미를 직관적으로 파악하기 어렵습니다.
원순열에서 누구를 먼저 앉히고 누구를 나중에 배치해야 계산이 덜 복잡해지는지 방향을 잡기 어렵습니다.

🔑 돌파구

여학생 3명이 모두 떨어져 앉을 때, 모두 붙어 앉을 때를 가정해 보며 조건에 맞는 여학생들의 이웃 상태(2명 이웃, 1명 단독)를 역추론해 보세요.
조건이 복잡한 대상을 나중에 배치하는 것이 유리하므로, 조건이 없는 남학생을 먼저 원탁에 앉히고 그 사이 공간에 여학생을 배치하는 전략을 세워보세요.
(팁: '이웃한다/안 한다' 조건이 섞여 있을 때는 묶음(조)을 먼저 나누고 사이 공간에 끼워 넣는 방식을 활용하세요.)

(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 고3 수학 확통 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 원순열 / 경우의 수
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구