수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 분모와 분자를 $x$로 나누기

주어진 식 ${lim}_{x\to 0}\frac{e^{7x}-1}{e^{2x}-1}$에서 분모와 분자를 각각 $x$로 나누어 줍니다.

${lim}_{x\to 0}\frac{\frac{e^{7x}-1}{x}}{\frac{e^{2x}-1}{x}}$

이렇게 하면 분모와 분자 각각에 대해 지수함수의 극한 공식을 적용할 준비가 됩니다.

step2. 지수의 계수에 맞게 식 변형하기

극한 공식 ${lim}_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1$을 적용하려면, $e$의 지수 부분과 분모의 식이 완전히 똑같아야 합니다.

분자의 경우 지수가 $7x$이므로 분모도 $7x$가 되어야 합니다. 따라서 식을 다음과 같이 변형합니다.

$\frac{e^{7x}-1}{x}=\frac{e^{7x}-1}{7x}\times 7$

마찬가지로 분모의 경우 지수가 $2x$이므로 분모도 $2x$가 되어야 합니다.

$\frac{e^{2x}-1}{x}=\frac{e^{2x}-1}{2x}\times 2$

계수를 맞춰주기 위해 분모에 숫자를 곱했다면, 식의 값이 변하지 않도록 반드시 같은 숫자를 다시 곱해주는 것을 잊지 마세요.

step3. 극한값 계산하기

이제 변형된 식에 극한을 적용해 봅시다.

${lim}_{x\to 0}\frac{\frac{e^{7x}-1}{7x}\times 7}{\frac{e^{2x}-1}{2x}\times 2}$

$x\to 0$일 때 $7x\to 0$이고 $2x\to 0$이므로, ${lim}_{x\to 0}\frac{e^{7x}-1}{7x}=1$ 이고 ${lim}_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x}=1$ 입니다.

따라서 극한값은 $\frac{1\times 7}{1\times 2}=\frac{7}{2}$ 가 됩니다.

step1. 분모와 분자를 $x$로 나누기

${lim}_{x\to 0}\frac{e^{7x}-1}{e^{2x}-1}={lim}_{x\to 0}\frac{\frac{e^{7x}-1}{x}}{\frac{e^{2x}-1}{x}}$

step2. 지수의 계수에 맞게 식 변형하기

$={lim}_{x\to 0}\frac{\frac{e^{7x}-1}{7x}\times 7}{\frac{e^{2x}-1}{2x}\times 2}$   --- 지수함수의 극한 형태를 만들기 위해 계수 조정

step3. 극한값 계산하기

$=\frac{1\times 7}{1\times 2}$   --- ${lim}_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1$ 이용

$=\frac{7}{2}$

$\therefore ④$